Forneça definições convenientes, análogas às Eqs (3.52) e (3.53), para obter a integral de uma função vetorial A(t) em relação ao escalar t:

∫ t 1 t 2 A t   d t .

Escreva um conjunto de equações idênticas às Eqs. (3.54) a (3.57), expressando as propriedades algébricas que se deve esperar para tal integral. Demonstre na base de uma ou de outra definição que

d d t ∫ 0 1 A t   d t = A t .

Passo 1

Então vamos para mais uma questão?

Primeiro vamos relembrar a definição:

∫ t 1 t 2 A - t d t = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n A - t i ∆ t i   ,       ∆ t i = t 2 - t 1 n    

∫ t 1 t 2 A - t d t   =   x ^ ∫ t 1 t 2 A x d t + y ^ ∫ t 1 t 2 A y d t + z ^ ∫ t 1 t 2 A z d t

Passo 2

Equação (3.54)

∫ t 1 t 2 A - + B - d t =   lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n A ^ t 1 + B ^ t 1 ∆ t 1  

=   lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n A - t 1 ∆ t 1 + lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n B - t 1 ∆ t 1

= ∫ t 1 t 2 A - t d t + ∫ t 1 t 2 B - t d t

Passo 3

Equação (3.55)

∫ t 1 t 2 f A     d t = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f t 2 A - ( t i ) ∆ t i

Vamos assumir que G t = f   A - ( t )

Assim:

∫ t 1 t 2 f A     d t = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n G - t i ∆ t i

= ∫ t 1 t 2 G - t d t = x ^ ∫ t 1 t 2 A x d t + y ^ ∫ t 1 t 2 A y d t + z ^ ∫ t 1 t 2 A z d t

Equação (3.56)

∫ t 1 t 2 A - * B -   d t = ∫ t 1 t 2 A x B x d t + ∫ t 1 t 2 A y B y   d t + ∫ t 1 t 2 A z B z   d t    

Equação (3.57)

∫ t 1 t 2 A - * B -   d t = ∫ t 1 t 2 C -   d t =   x ^ ∫ t 1 t 2 ( A y B z - B z A y ) d t + y ^   ∫ t 1 t 2 A z B x - A x B z   d t +   z ^ ∫ t 1 t 2 ( A x B y - A y B x )   d t

Resposta

d d t ∫ 0 t A - t   d t   =   A - t

a - t =   ∫ 0 t A - t   d t  

d a - d t =   A - t

a - t + ∆ t =   ∫ 0 t + ∆ t A - t   d t

a - t + ∆ t -     a - t = ∫ 0 t + ∆ t A - t   d t -   ∫ 0 t A - t   d t

= ∫ 0 t + ∆ t A - t   d t

O valor A c está entre A t + ∆ t e A ( t )

∫ 0 t + ∆ t A - t   d t = A - ( c ) ∆ t

a - t + ∆ t - a - t = A - c ∆ t      

a - t + ∆ t - a - t ∆ t = A - ( c )

lim ∆ t → 0 ⁡ a - t + ∆ t - a - t ∆ t =   l i m ∆ t → 0 A - ( c )

d a - d t = l i m ∆ t → 0 A - ( c )

Desde que C seja entre t e t + ∆ t e o l i m ∆ t → 0 t = t , l i m ∆ t → 0 t + ∆ t = t

Então

l i m ∆ t → 0 c = t

Assim:

d a - d t =   l i m ∆ t → 0 A - c

d d t   ∫ 0 t A - t   d t = A ( t )