Enunciado

50. Fótons de 164,9   n m são emitidos em uma transição com Δ n = 1 dentro de uma estrutura molecular em estado sólido. A estrutura molecular pode ser imaginada como elétrons em uma caixa de comprimento igual a 0,500   n m . Que transição corresponde à luz emitida?

Passo 1

Vamos lá galera, vem comigo!

Quando fazemos a analogia dos elétrons como uma partícula em uma caixa, temos que a energia do fóton que é emitido é igual à diferença de energia entre os dois estados de energia na caixa no qual houve a transição.

A energia de um elétron em uma caixa em um nível qualquer é dada pela equação 40.9 , temos:

E n = n 2 h 2 8 m L 2

Mas o enunciado não fala o nível inicial e o final de energia para calcularmos a diferença e igualarmos com a energia do fóton, dada por:

E f ó t o n = h c λ

Mas quando ele diz que Δ n = 1 ele quer dizer que os estados de energia são bem dizer consecutivos, então:

Δ E = E n + 1   - E n

E como falei mais acima a energia do fóton é iguala a diferença de energia desses dois estados de energia, então:

h c λ = E n + 1   - E n

Abrindo essa expressão poderemos isolar n e calcular seu valor e com isso achamos os dois estados já que o outro é n + 1 .

Passo 2

Vamos abrir então a última expressão que temos no passo 1 , temos:

h c λ = E n + 1   - E n

⇒ h c λ = n + 1 2 h 2 8 m L 2 - n 2 h 2 8 m L 2

⇒ h c λ = h 2 8 m L 2 [ n + 1 2 - n 2 ]

⇒ h c λ = h 2 8 m L 2 ( n 2 + 2 n + 1 - n 2 )

Então ficamos com:

h c λ = h 2 8 m L 2 ( 2 n + 1 )

Agora isolando n , ficamos com:

2 n + 1 = h c λ 8 m L 2 h 2

⇒ n = 4 m L 2 c λ h - 1 2

Passo 3

Agora que temos uma expressão para n , vamos substituir os valores que conhecemos, lembrando que a constante de Planck é dada por h = 6,63 ⋅ 10 - 34   J ⋅ s e a massa do elétron é dada por m = 9,11 ⋅ 10 - 34 k g , então:

n = 4 m L 2 c λ h - 1 2

⇒ n = 4 ( 9,11 ⋅ 10 - 3 1 ) 0,5 ⋅ 10 - 9 2 ( 3 ⋅ 10 8 ) ( 164,9 ⋅ 10 - 9 ) ( 6,63 ⋅ 10 - 34 ) - 1 2

Nossa, deu bastante coisa, mas não vamos nos assustar vamos partir para cima, temos que:

n = 2,73 ⋅ 10 - 43 1 093,287 ⋅ 10 - 4 3 - 0,5

⇒ n = 2,5 - 0,5

⇒ n = 2

Sabendo disso temos que a transição foi do nível 3 para o nível 2 .

Resposta

A transição foi do estado E 3 para E 2

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