Enunciado

As funções delta vivem sob os sinais da integral, e duas expressões ( D 1 x e D 2 x ) envolvendo funções delta são ditas iguais se:

∫ - ∞ + ∞ f x D 1 x d x = ∫ - ∞ + ∞ f x D 2 x d x

Para cada função (comum) f ( x ) .

  1. Demonstre que:

δ c x = 1 c δ ( x )

Onde c é uma constante real. (Verifique o caso em que c é negativo.)

Passo 1

E aí, beleza? Nessa questão vamos demonstrar algumas propriedades da função delta de Dirac.

Para o item a), considere uma função f comum. Assim, tomemos a seguinte integral:

I = ∫ - ∞ ∞ f x δ c x d x

A partir dela, vamos tentar chegar na expressão desejada para δ ( x ) .

Passo 2

Agora, façamos a seguinte substituição:

y = c x

Assumindo inicialmente que c > 0 , temos:

I = 1 c ∫ - ∞ ∞ f y / c δ y d y

Como y = 0 está contido nos limites de integração, a integral vale:

I = 1 c   f 0

Mas note que esse resultado é o mesmo de:

I = ∫ - ∞ ∞ f x 1 c   δ x d x

Portanto, vem que:

δ c x = 1 c   δ ( x )

Para c > 0 .

Passo 3

Agora, para c < 0 , vem, ao fazer a substituição:

I = 1 c   ∫ ∞ - ∞ f y c δ y d y

Atente que agora o integrando é invertido, pois c < 0 . Assim, vem:

I = - 1 c ∫ - ∞ ∞ f y / c δ y d y

Que é a mesma integral do passo anterior. Desse modo, temos:

I = - 1 c

Ou seja, nesse caso, a relação é a seguinte:

δ c x = - 1 c   δ ( x )

Por fim, unido o passo 2 com o passo 3 , podemos concluir:

δ c x = 1 | c |   δ ( x )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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