Enunciado

As funções delta vivem sob os sinais da integral, e duas expressões ( D 1 x e D 2 x ) envolvendo funções delta são ditas iguais se:

∫ - ∞ + ∞ f x D 1 x d x = ∫ - ∞ + ∞ f x D 2 x d x

Para cada função (comum) f ( x ) .

b) Seja θ x a função degrau:

θ x = 1 ,         s e   x > 0 , 0 ,         s e   x < 0 .

(Definimos θ 0 como sendo 1 / 2 nos casos raros em que isso é realmente relevante.) Demonstre que d θ / d x = δ ( x ) .

Passo 1

Para resolver o item b), teremos que analisar a seguinte integral:

I = ∫ - ∞ ∞ f x d θ d x   d x

Uma vez que procuramos a relação entre a derivada da função degrau com a função delta de Dirac.

Passo 2

Vamos buscar resolver essa integral por partes. Assim, vem:

I = lim a → ∞ ⁡ f θ ​ - a a - ∫ - ∞ ∞ d f d x   θ   d x

Note, porém, que a integral que aparece pode ser resumida a:

∫ - ∞ ∞ d f d x   θ   d x = ∫ 0 ∞ d f d x   d x = lim b → ∞ ⁡ f b - f ( 0 )

Para o limite na primeira relação, temos:

lim a → ∞ ⁡ f θ ​ - a a = lim a → ∞ ⁡ f ( a )

Portanto, a integral I fica:

I = lim a → ∞ ⁡ f a - lim b → ∞ ⁡ f b + f 0

Como os limites são iguais, ficamos com:

I = f 0

Ou, melhor ainda:

∫ - ∞ ∞ f x d θ d x   d x = f 0

Passo 3

Perceba, portanto, que a função d θ / d x faz na integral o papel da função delta de Dirac. Por causa disso é que se pode relacionar a função degrau com a função delta de Dirac como:

δ x = d θ d x

O que, apesar de ser um pouco estranho, faz sentido, uma vez que se imaginarmos a função degrau, ela é constante para todos os valores de x , exceto em x = 0 , em que há um salto. A esse salto podemos atribuir, qualitativamente, uma derivada infinita, que funciona exatamente como a função delta de Dirac.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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