Enunciado

Um gás ideal diatômico, com rotação, mas sem oscilações, sofre uma compressão adiabática. A pressão e volume iniciais são 1,20   a t m e 0,200   m 3 . A pressão final é 2,40   a t m . Qual é o trabalho realizado pelo gás?

Passo 1

Faala ae, beleza? Vamos lá!

Bom, em qualquer caso, o trabalho realizado por um gás segue essa fórmula aqui:

W = ∫ p   d V

O problema pra resolver a integral é o seguinte: achar uma expressão que dê a pressão em função do volume do gás!

Mas como o processo é adiabático, já temos uma vantagem. Em qualquer ponto, a pressão e o volume vão seguir essa relação com os valores iniciais:

p i V i γ = p V γ

Isolando a pressão:

p = p i V i γ V γ

p = p i V i γ V - γ

Passo 2

Beleza, agora a integral lá do início fica assim:

W = ∫ V i V f p i V i γ V - γ   d V

Tirando as constantes de dentro da integral:

W = p i V i γ ∫ V i V f V - γ   d V

Vamos resolver de forma “algébrica” antes de substituir os valores, essa integral é bem simples de fazer, considerando que o γ é uma constante.

A propriedade que vamos usar é essa aqui:

∫ x a   d x = x 1 + a ( 1 + a ) + C

Então:

W = p i V i γ ∫ V i V f V - γ   d V

W = p i V i γ . V f 1 - γ - V i 1 - γ ( 1 - γ )  

Mas ainda não acabou, porque não temos o volume final, só a pressão.

Passo 3

Voltando naquela relação da transformação adiabática, podemos afirmar o seguinte:

p i V i γ = p f V f   γ

V f γ = p i V i γ p f

V f γ = 1,20 2,40 ( V i γ )

V f γ = 1 2 V i γ

V f = 2 - 1 γ ( V i )

Ok, agora vamos substituir isso na nossa fórmula:

W = p i V i γ . 2 - 1 γ V i 1 - γ - V i 1 - γ ( 1 - γ )  

Agora cuidado, é uma álgebra meio chata:

W = p i V i γ . 2 1 - 1 / γ   V i 1 V i - γ - V i 1 V i - γ ( 1 - γ )  

Agora aquele V i γ vai se cancelar com os V i - γ , e vamos colocar o V i em evidência:

W = p i V i . 2 1 - 1 / γ - 1 ( 1 - γ )

Como o gás é diatômico, mas ele não oscila, ficamos apenas com 2 graus de liberdade da rotação. Assim, o expoente gama vale:

γ = c p c v

Onde:

c p = g + 2 2 R

c v = g 2 R

Nesse caso, g = 2 . Então:

c p = 2 R

c v = R

Assim:

γ = 2 R R = 2

Os outros valores já foram dados no enunciado:

W = 1,212.10 5 0,200 . 2 1 / 2 - 1 1 - 2 = - 1 0040 , 54   J

Lembrando que 1   a t m = 1,01 ∙ 10 5   P a .

E então:

W = - 1 , 0040   .   10 4   J

Resposta

O trabalho realizado pelo gás é W = - 1,0040   .   10 4   J .

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