A hélice de um avião de momento de inércia I está sujeita à ação de um torque acelerados

N =   N 0 ( i + α   c o s   ( w 0 t )

E de um torque de atrito devido à resistência do ar:

N f = - b 0 ¨

Determine o estado estacionário do movimento.

Passo 1

Então vamos para mais uma questão?

Sabemos que

I θ ¨ = N + N f  

N =   N 0 ( i + α   c o s   ( w 0 t )

N =   N 0 ( i + α   c o s   ( w 0 t )

I θ ¨ = N 0 + N 0 α   c o s   w 0 t - b θ ˙         →               I θ ¨ - b θ ˙ = N 0 + N 0 α   c o s   w 0 t

A partir disso:

Passo 2

ln ⁡ 1 - b θ N 0 = - b I t  

1 - b θ N 0 = e - b I t

θ ˙ b N 0 = 1 - e - b I t

θ ˙ = N 0 b 1 - e - b I t

Para estacionário. t → ∞

θ ˙ s 1 = N 0 b

d θ ˙ s 1 = N 0 b d t

∫ θ 0 θ s d θ ˙ s 1 = ∫ 0 t N 0 b d t

θ s - θ 0 = N 0 b t

θ s = θ 0 + N 0 b t

Egn.1

I θ ¨ = N 0 - b θ ˙

I d θ ˙ d t = N 0 - b θ ˙    

d θ ˙ N 0 - b θ ˙ = d t I

∫ 0 θ ˙ d θ ˙ N 0 - b θ ˙ = ∫ 0 t d t I

μ = N 0 - b θ ˙

d μ = + b d θ ˙

d μ b = d θ ˙

- 1 b ∫ d μ μ = - 1 b ln ⁡ μ + c  

∫ 0 θ d θ ˙ N 0 - b θ ˙   = - 1 b l n ⁡ | N 0 - b θ ˙ | 0 θ

= - 1 b l n N 0 - b θ ˙ N 0

= - 1 b ln ⁡ 1 - b θ N 0

- 1 b ln ⁡ ( 1 - b θ N 0 ) = t I  

Passo 3

Egn.2

I θ ¨ = N 0 + N 0 α cos ⁡ w 0 t - b θ ˙

θ ¨ + b I θ ˙ = N 0 α I   cos ⁡ w 0 t

θ p = A cos ⁡ w 0 t + B s e n w 0 t

  θ ˙ p = - A w 0 s e n ( w 0 t ) + B w 0 c o s ( w 0 t )

θ ¨ p = - A w 0 2 cos ⁡ w 0 t - B w 0 ² s e n ( w 0 t )

- A w 0 2 cos ⁡ w 0 t - B w 0 2 s e n w 0 t + b I - A w 0 s e n w 0 t + B w 0 c o s w 0 t =

N 0 α I c o s ⁡ ( w 0 t )

Igualando:

- A w 0 2 + B b I w 0 = N 0 α I  

- B w 0 2 -   A b I w 0 = 0 → B = - A b I w 0

- A w 0 2 - A b 2 I 2 = N 0 α I

- A   ( w 0 2 - b 2 I 2 ) = N 0 α I

θ p = - N 0 α I I ² w 0 ² - b ² cos ⁡ w 0 t + N 0 α b I w 0 ( I ² w 0 ² - b ² )   s e n ( w 0 t )

θ s 2 = N 0 α b w 0 ( I ² w 0 ² - b ² )   s e n w 0 t - N 0 α I I 2 w 0 ² - b 2 c o s ⁡ ( w 0 t )

- A I ² w 0 2 - b ² I 2 = N 0 α I

A = - N 0 α I I ² w 0 ² - b ²

B = N 0 α b w 0 ( I ² w 0 ² - b ² )

Resposta

θ s = θ s 1 + θ s 2

= θ 0 + N 0 b t + N 0 α b w 0 ( I ² w 0 ² - b ² )   s e n w 0 t - N 0 α I I 2 w 0 ² - b 2 c o s ⁡ ( w 0 t )

θ s = θ 0 + N 0 b t + N 0 α I ² w 0 ² - b 2 w 0 b   s e n w 0 t - I w 0   c o s ⁡ ( w 0 t )