Enunciado

Um ímã se aproxima de um anel, movendo-se sobre o eixo deste. A Figura 23.16 mostra a situação em um dado instante em que o centro do anel está a distância z do centro do ímã. Nota-se a simetria axial do campo magnético no plano do anel.

Utilizando a aproximação de dipolo para o campo magnético, mostre que

a) o seu fluxo na superfície contornada pelo anel vale

Φ B = μ 0 μ 2 1 z 2 + R 2 1 2 - z 2 z 2 + R 2 3 2

b) para z ≫ R , esta expressão se aproxima para

Φ B ≈ μ 0 μ 2 R 2 z 3

c) a fem no anel vale

E = μ 0 μ 2 z v z 2 + R 2 3 2 - 3 z 3 v z 2 + R 2 5 2

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Esse problema é daqueles mais complicadinhos que faremos bastante conta...

Temos um ímã, que vamos aproximar por um dipolo, cujo campo magnético atravessa um anel, como mostrado na figura. Primeiro queremos calcular o fluxo do campo magnético sobre esse anel.

Observe que o versor normal ao anel aponta na direção + z ^ , de modo que

Φ B = ∬ B → ⋅ n ^   d A = ∬ B z   d A

Vamos olhar com atenção para o campo magnético produzido por um dipolo na direção z ^ :

Na equação 22.21 do livro temos, em termos de r ' e z :

B z = μ 0 μ 4 π 3 z 2 r ' 5 - 1 r ' 3

Mas note que por Pitágoras:

r ' = z 2 + r 2

Assim, podemos escrever o campo magnético em termos de r :

B z = μ 0 μ 4 π 3 z 2 z 2 + r 2 5 / 2 - 1 z 2 + r 2 3 / 2

Passo 2

Temos que integrar essa última expressão em d A = 2 π r d r com r indo de 0 até R :

Φ B = μ 0 μ 4 π ⋅ 2 π ∫ 0 R 3 z 2 r z 2 + r 2 5 / 2 - r z 2 + r 2 3 / 2   d r

O trabalho duro agora é fazer essa integral! Vamos fazer a mudança de variável

x = z 2 + r 2 → d x = 2   r d r → r   d r = d x 2

Assim,

Φ B = μ 0 μ 2 ∫ z 2 z 2 + R 2 3 z 2 x 5 2 - 1 x 3 2 d x 2

Daí é só fazer a integral:

Φ B = μ 0 μ 2 ⋅ 1 2 - 2 z 2 x 3 2 + 2 x 1 2 z 2 z 2 + R 2

Juntando os termos achamos exatamente a expressão dada no enunciado:

Φ B = μ 0 μ 2 1 z 2 + R 2 1 2 - z 2 z 2 + R 2 3 2

Passo 3

No item (b) vamos fazer a aproximação z ≫ R . Para isso usaremos a aproximação binomial:

1 + x n ≈ 1 + n x ,             x ≪ 1

Assim,

1 z 2 + R 2 1 2 = 1 z ⋅ 1 1 + R 2 z 2 1 2 = 1 z ⋅ 1 + R 2 z 2 - 1 2 ≈ 1 z ⋅ 1 - 1 2 ⋅ R 2 z 2

Portanto,

1 z 2 + R 2 1 2 ≈ 1 z 2 z 2 - R 2 2 z 2 = 2 z 2 - R 2 2 z 3

Analogamente,

z 2 z 2 + R 2 3 2 = 1 z ⋅ 1 + R 2 z 2 - 3 2 ≈ 1 z ⋅ 1 - 3 2 ⋅ R 2 z 2 = 2 z 2 - 3 R 2 2 z 3

Com isso, temos que

1 z 2 + R 2 1 2 - z 2 z 2 + R 2 3 2 ≈ 2 z 2 - R 2 2 z 3 - 2 z 2 - 3 R 2 2 z 3 = R 2 z 3

Portanto,

Φ B ≈ μ 0 μ 2 R 2 z 3

Passo 4

Por fim, no item (c) queremos achar a fem no anel. Para isso, usamos a lei de Faraday:

E = - d Φ B d t

Você precisa observar que a única grandeza que varia com o tempo é z de modo que pela regra da cadeia:

E = - d Φ B d z ⋅ d z d t

A derivada do primeiro termo será

d d z 1 z 2 + R 2 1 2 = d d z z 2 + R 2 - 1 2 = - 1 2 z 2 + R 2 - 3 2 ⋅ 2 z = - z z 2 + R 2 3 2

Já para o segundo termo:

d d z z 2 z 2 + R 2 3 2 = 2 z   z 2 + R 2 3 2 - z 2 ⋅ 3 2 z 2 + R 2 1 2 ⋅ 2 z z 2 + R 2 3

Assim,

d d z z 2 z 2 + R 2 3 2 = 2 z z 2 + R 2   3 2 - 3 z 2 z 2 + R 2 5 2

Com isso,

d Φ B d z = μ 0 μ 2 - z z 2 + R 2 3 2 + 2 z z 2 + R 2   3 2 - 3 z 2 z 2 + R 2 5 2

Logo,

E = μ 0 μ 2 z z 2 + R 2 3 2 - 3 z 3 z 2 + R 2 5 2 ⋅ d z d t

Mas como v = d z / d t , temos que

E = μ 0 μ 2 z v z 2 + R 2 3 2 - 3 z 3 v z 2 + R 2 5 2

UFA! Terminamos o problema 😉.

Resposta

Demonstração.

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