Uma massa de 1000   k g cai de uma altura de 10   m sobre uma plataforma de massa desprezível. Deseja-se desenhar uma mola e um amortecedor sobre os quais a plataforma será montada, de tal forma que ela possa atingir uma nova posição de equilíbrio 0,2   m abaixo da posição original tão depressa quanto possível, depois de sofrer o impacto, porém sem ultrapassá-la

b) Determine, até dois algarismos significativos, o tempo necessário para que a plataforma chegue a 1   m m de sua posição final.

Passo 1

Vamos continuar esta questão então! Nos temos todas as constantes que determinam o movimento, e o tipo de movimento que é realizado (supercrítico). Se a posição final é a posição de equilíbrio x e q = 0,2   m , a posição que ele quer que analisemos é tal que x = 0,199 m , ou seja 1   m m antes. Vamos tentar aproximar um valor utilizando a equação do movimento amortecido supercrítico. Bora lá!

Passo 2

Utilizando a definição:

x ( t ) = 1 ( γ 1 - γ 2 ) [ 0,2 × γ 2 - 14 ] e - γ 1 t + 1 ( γ 1 - γ 2 ) [ 14 - 0,2 γ 1 ] e - γ 2 t + 0,2

Utilizando as definições - γ 1 = - γ - γ 2 - ω 0 2 e - γ 2 = - γ + γ 2 - ω 0 2 . Utilizando γ ≈ 35 , e como ω 0 2 = 49 , temos γ 1 ≈ 35 + 34,29 ≈ 69,29 e γ 2 ≈ 0,71 . Portanto:

- 0,001 = 0,014 [ 0,142 - 14 ] e - 69,29 t + 0,014 [ 14 - 13,86 ] e - 0,71 t →

→ - 0,001 = - 0,19 e - 69,29 t + 0,00196 e - 0,7 t

Maravilha, precisamos estimar o tempo a partir desta equação, beleza?

Passo 3

Como queremos o tempo com 2 casas decimais, o segundo termo será praticamente desprezível, portanto vamos considerar:

- 0,001 ≈ - 0,19 e - 69,29 t → 0,0053 ≈ e - 69,29 t → - 69,29 t ≈ - 5,25 →

→ t ≈ 0,076 → t ≈ 0,076   s

Esta questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

t ≈ 0,076   s