Uma massa de cai de uma altura de sobre uma plataforma de massa desprezível. Deseja-se desenhar uma mola e um amortecedor sobre os quais a plataforma será montada, de tal forma que ela possa atingir uma nova posição de equilíbrio abaixo da posição original tão depressa quanto possível, depois de sofrer o impacto, porém sem ultrapassá-la
a) Determine a constante da mola e a constante de amortecimento do amortecedor. Certifique-se que a solução encontrada satisfaz as condições iniciais corretas e que não ultrapasse a posição de equilíbrio.
Passo 1
Eaew, belezinha?
Vamos dar uma checada breve no que esta questão quer e traçar um plano. Se nós quisermos que, após o amortecimento, o sistema não passe do ponto de equilíbrio é preciso que tenhamos um amortecimento crítico ou supercrítico, em que o sistema crítico nos dá o limite inferior para o sistema. Como o corpo em queda terá uma velocidade inicial temos que:
Temos que aqui representa uma coordenada vertical, e o termo somado a posição inicial do oscilador amortecido criticamente é devido a existência da força peso atuando sobre a partícula. Podemos escolher um sistema de coordenadas no qual de forma que . Vamos ver inicialmente, o que esta informação nos indica, beleza?
Passo 2
No equilíbrio temos que o corpo estará em repouso e portanto teremos o seguinte balanço de forças:
No amortecimento crítico temos que:
Para que o amortecimento seja ainda mais intenso, superamortecimento, seria interessante considerar . Precisamos garantir agora que o corpo nesta velocidade não é rápido suficiente para que o impacto faça com que o amortecimento crítico não seja o suficiente para que o sistema ultrapasse a posição de equilíbrio. Bora lá!
Passo 3
Primeiramente, vamos calcular a velocidade inicial com os dados que nos foram dados, note que o corpo está em queda livre com aceleração constante antes de atingir a plataforma, ou seja, sua velocidade inicial será dada a partir de:
Vamos procurar uma condição para verificar se esta velocidade não é alta o suficiente para que o sistema seja amortecido o suficiente na situação crítica. A situação limite é tal que quando o corpo atinge o equilíbrio, a velocidade final é nula, então vamos calcular a velocidade e ver se ela é nula em , beleza?
Passo 4
Vamos começar analisando a expressão no equilíbrio, . Saca só:
Como , temos:
Precisamos que neste exato ponto, a nossa velocidade vá a , vamos checar isso:
Usando a equação (2) na equação (1), temos:
Usando o valor que calculamos para , e , , e , temos:
Oops… Parece que o modelo crítico não é o suficiente, mas tudo bem, ele era um limite inferior, portanto o amortecimento a ser utilizado deve ser supercrítico, vamos tentar isso então!
Passo 5
O sistema supercrítico é definido por:
Podemos fazer um processo análogo ao anterior para que este sistema nos leve ao equilíbrio, saca só:
E para a nossa velocidade no equilíbrio temos:
Substituindo a equação (4), temos:
Essa última equação vai nos dar o valor de , vamos fazer isso!
Passo 6
Vamos utilizar os dados calculados, temos que:
A definição de é tal que , portanto:
Essa expressão não tem solução analítica, mas podemos tentar aproximar este sistema, saca só!
Passo 7
Vamos reescrever o sistema da seguinte forma:
Esta alternativa foi isso, portanto vamos para a próxima!