Uma massa de 1000   k g cai de uma altura de 10   m sobre uma plataforma de massa desprezível. Deseja-se desenhar uma mola e um amortecedor sobre os quais a plataforma será montada, de tal forma que ela possa atingir uma nova posição de equilíbrio 0,2   m abaixo da posição original tão depressa quanto possível, depois de sofrer o impacto, porém sem ultrapassá-la

a) Determine a constante k da mola e a constante de amortecimento b do amortecedor. Certifique-se que a solução x ( t ) encontrada satisfaz as condições iniciais corretas e que não ultrapasse a posição de equilíbrio.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Vamos dar uma checada breve no que esta questão quer e traçar um plano. Se nós quisermos que, após o amortecimento, o sistema não passe do ponto de equilíbrio é preciso que tenhamos um amortecimento crítico ou supercrítico, em que o sistema crítico nos dá o limite inferior para o sistema. Como o corpo em queda terá uma velocidade inicial temos que:

x ( t )   = ( x 0 - ω 0 - 2 g ) [ 1 + γ t ] e - γ t + v 0 t e - γ t + ω 0 - 2 g  

Temos que x aqui representa uma coordenada vertical, e o termo somado a posição inicial do oscilador amortecido criticamente é devido a existência da força peso atuando sobre a partícula. Podemos escolher um sistema de coordenadas no qual x 0 = 0 de forma que x e q = 0,2 . Vamos ver inicialmente, o que esta informação nos indica, beleza?

Passo 2

No equilíbrio temos que o corpo estará em repouso x ˙ ( t )   = 0 e portanto teremos o seguinte balanço de forças:

m x ¨ ( t )   =   - k x e q + m g = 0 → k = m g x e q → k   = 1000   k g   × 9,8 0,2 = 4,9 × 1 0 4 N / m

No amortecimento crítico temos que:

γ 2 = ω 0 2 → b 2 4 m 2 = k m → b 2 = 4 k × m → b   =   2 k × m = 2 4,9 × 1 0 4 × 1000 →

→ b   =   1,4 × 1 0 4   k g / s

Para que o amortecimento seja ainda mais intenso, superamortecimento, seria interessante considerar b > 1,4 × 1 0 4   k g / s . Precisamos garantir agora que o corpo nesta velocidade não é rápido suficiente para que o impacto faça com que o amortecimento crítico não seja o suficiente para que o sistema ultrapasse a posição de equilíbrio. Bora lá!

Passo 3

Primeiramente, vamos calcular a velocidade inicial v 0 com os dados que nos foram dados, note que o corpo está em queda livre com aceleração constante g antes de atingir a plataforma, ou seja, sua velocidade inicial será dada a partir de:

v 2 = 2 g Δ x = 2 × 9,8 × 10 = 196 m 2 / s 2 → v = 14   m / s

Vamos procurar uma condição para verificar se esta velocidade não é alta o suficiente para que o sistema seja amortecido o suficiente na situação crítica. A situação limite é tal que quando o corpo atinge o equilíbrio, a velocidade final é nula, então vamos calcular a velocidade e ver se ela é nula em x e q , beleza?

Passo 4

Vamos começar analisando a expressão no equilíbrio, x e q = 0,2 . Saca só:

x ( t )   = ( x 0 - ω 0 - 2 g ) [ 1 + γ t ] e - γ t + v 0 t e - γ t + ω 0 - 2 g   = 0,2

Como ω 0 - 2 g   =   0,2 , temos:

0   =   ( x 0 - ω 0 - 2 g ) ( 1 + γ t ) e - γ t + v 0 t e - γ t → v 0 t = - ( x 0 - ω 0 - 2 g ) ( 1 + γ t )           ( 1 )

Precisamos que neste exato ponto, a nossa velocidade vá a 0 , vamos checar isso:

x ˙ ( t ) = ( x 0 - ω 0 - 2 g ) ( 1 + γ t ) ( - γ ) e - γ t + ( x 0 - ω 0 - 2 g ) ( γ ) e - γ t + v 0 e - γ t - v 0 γ t e - γ t →  

→ - ( x 0 - ω o - 2 g ) γ 2 t e - γ t + v 0 e - γ t - v 0 γ t e - γ t = 0 → - ( x 0 - ω 0 - 2 g ) γ 2 t + v 0 - γ v 0 t = 0           ( 2 )

Usando a equação (2) na equação (1), temos:

- ( x 0 - ω 0 - 2 g ) γ 2 t + v 0 + γ ( x 0 - ω 0 - 2 g ) ( 1 + γ t ) = 0 →

→ v 0 + γ ( x 0 - ω 0 - 2 g ) = 0

Usando o valor que calculamos para v 0 = 14   m / s , e x 0 = 0 , m = 1000   k g , k =   4,9 × 1 0 4 e b = 1,4 × 1 0 4   k g / s , temos:

14 + b 2 m ( - m k g ) = 0           ( 3 ) →  

→ 14 - 1,4 × 1 0 4 2 × 1000 ( 1000 4,9 × 1 0 4 9,8 ) = 0

→ 14 - 7 × ( 0,2 ) = 14 - 1,4 = 12,6 ≠ 0

Oops… Parece que o modelo crítico não é o suficiente, mas tudo bem, ele era um limite inferior, portanto o amortecimento a ser utilizado deve ser supercrítico, vamos tentar isso então!

Passo 5

O sistema supercrítico é definido por:

x ( t ) = 1 ( γ 1 - γ 2 ) [ ω 0 - 2 g γ 2 - v 0 ] e - γ 1 t + 1 ( γ 1 - γ 2 ) [ v 0 - ω 0 - 2 g γ 1 ] e - γ 2 t + ω 0 - 2 g

Podemos fazer um processo análogo ao anterior para que este sistema nos leve ao equilíbrio, saca só:

0 = 1 ( γ 1 - γ 2 ) [ ω 0 - 2 g γ 2 - v 0 ] e - γ 1 t + 1 ( γ 1 - γ 2 ) [ v 0 - ω 0 - 2 g γ 1 ] e - γ 2 t →

→ 1 ( γ 1 - γ 2 ) [ ω 0 - 2 g γ 2 - v 0 ] e - γ 1 t = - 1 ( γ 1 - γ 2 ) [ v 0 - ω 0 - 2 g γ 1 ] e - γ 2 t         ( 4 )

E para a nossa velocidade no equilíbrio temos:

0   = 1 ( γ 1 - γ 2 ) [ ω 0 - 2 g γ 2 - v 0 ] ( - γ 1 ) e - γ 1 t + 1 ( γ 1 - γ 2 ) [ v 0 - ω 0 - 2 g γ 1 ] ( - γ 2 ) e - γ 2 t  

Substituindo a equação (4), temos:

1 ( γ 1 - γ 2 ) [ v 0 - ω 0 - 2 g γ 1 ] ( γ 1 ) e - γ 2 t + 1 ( γ 1 - γ 2 ) [ v 0 - ω 0 - 2 g γ 1 ] ( - γ 2 ) e - γ 2 t = 0

→ 1 ( γ 1 - γ 2 ) [ v 0 - ω 0 - 2 g γ 1 ] ( γ 1 - γ 2 ) e - γ 2 t = 0 →

→ [ v 0 - ω 0 - 2 g γ 1 ] e - γ 2 t = 0 → v 0 - ω 0 - 2 g γ 1 = 0           ( 5 )

Essa última equação vai nos dar o valor de b , vamos fazer isso!

Passo 6

Vamos utilizar os dados calculados, temos que:

14 - 0,2 γ 1 = 0 → 0,2 γ 1 = 14 → γ 1 = 70

A definição de γ 2 é tal que - γ 1 = - γ - ω 1 = - γ - γ 2 - ω 0 2 , portanto:

γ + γ 2 - 49 = 70

Essa expressão não tem solução analítica, mas podemos tentar aproximar este sistema, saca só!

Passo 7

Vamos reescrever o sistema da seguinte forma:

γ + γ 1 - 49 / γ 2 → 49 / γ 2 ≈ 0 → 2 γ ≈ 70 → γ ≈ 35 → b   ≈   2 m × 35 →

→ b   ≈   2 × 1000 × 35 = 7 × 1 0 4   K g / s

Esta alternativa foi isso, portanto vamos para a próxima!

Resposta

k   =   4,9 × 1 0 4   e   b   ≈ 7 × 1 0 4   k g / s