Uma massa de 1000kgm cai de uma altura de 10 m sobre uma plataforma de massa desprezível. Deseja-se projetar uma mola e um amortecedor para montar a plataforma de modo que a plataforma se assente em uma nova posição de equilíbrio 0,2 m abaixo de sua posição original o mais rápido possível após o impacto sem ultrapassar.

(a) Encontre a constante elástica k e a constante de amortecimento b do amortecedor. Por que o resultado parece contradizer as observações no final da Seção 2-9?

(b) Encontre, com dois algarismos significativos, o tempo necessário para a plataforma se estabilizar a 1 mm de sua posição final.

Passo 1

V ( x ) = - V 0 a x a 2 + x 2 8 a 4 + x 4

(a) F = - d V d x

= - d d x - V 0 a 4 - V 0 a 2 x 2 8 a 4 + x 4 = d d x V 0 a 4 + V 0 a 2 x 2 b a 4 + x 4

F = 8 a 4 + x 4 2 V 0 a 2 x - V 0 a 4 + V 0 a 2 x 2 4 x 3 8 a 4 + x 4 2

Máximo e mínimo de V ( x ) → d V d x = 0

O = d d x - V 0 a 2 a 2 + x 2 8 a 4 + x 4

= - 10 a 2 d d x a 2 + x 2 8 a 4 + x 4 = 8 a 4 + x 4 2 x - a 2 + x 2 4 x 3 8 a 4 + x 4 2 = 16 a 4 x + 2 x 5 - 4 a 2 x 3 - 4 x 5 = - 2 x 5 - 4 a 2 x 3 + 16 a 4 x = x 5 + 2 a 2 x 3 - 8 a 4 x = x x 4 + 2 a 2 x 2 - 8 a 4

X=0

x 4 + 2 a 2 x 2 - 8 a 4 = 0 y 2 + 2 a 2 y - 8 a 4 = 0 y 2 + 2 a 2 y + a 4 = 8 a 4 + a 4

4 + a 2 2 = 0 + a 4

y + a 2 = ± 3 a 2

y = - 4 a 2  ou   2 a 2

y = x 2

x 2 = - 4 a 2 or 2 a 2 x = ± 2 a

V ( ± 2 α ) = - l o s 2 ⁡ a 2 + 2 a 2 8 a 4 + 4 a 4

= - V o 2 ⁡ 3 a 2 12 a 4 = - 3 V 0 a 4 12 a 4 = - 3 V 0 12 = - V 0 4

Passo 2

(b) - V e 4 < V ( x ) < - V 0 8  é oscilante sobre   X e g = ± 2 a

- V 0 2 < x < 0  é oscilante sobre   x = 0

Pequenas oscilações sobre x e q = ± 2 a

V ( x ) = V x x eq  + d V d x x efo  x - x eq  + 1 2 d 2 V d x 2 xeg  x - x eq  2 + 1 6 d 3 V d x 3 xeg  x - x eq  3 + ⋯

= 1 2 d z y d x x  eq  x - x eq  2 + ⋯ ⋅

K = d i V d x z x e g

d v d x = - 1 a a 2 d d x a 2 + x 2 8 a 4 + x 4

d V d x = - V o a 2 ⁡ 8 a 4 + x 2 2 x - a 2 + x 2 4 x 3 8 a 4 + x 4 2

= - V 0 a 2 16 a 4 x + 2 x 5 - 4 a 2 x 3 - 4 x 5 8 a 4 + x 4 2 = - V 0 a 2 - 2 x 5 - 4 a 2 x 3 + 16 a 4 x 8 a 4 + x 4 2

d 2 d x 2 = - V 0 a 2 8 a 4 + x 4 2 - 10 x 4 - 12 a 2 x 2 + 16 a 4 - - 2 x 5 - 4 a 2 x 3 + 16 a 4 2 8 a 4 + x 4 4 x 3 ( 84 4 + x 4 4

= - V 0 a 2 8 a 4 + x 4 8 a 4 + x 4 - 10 x 4 - 12 a 2 x 2 + 16 a 4 - 8 x 3 - 2 x 3 - 4 a 2 x + 16 a x 8 a 4 + x 4 4 = - V 0 a 2 8 a 4 + x 4 - 10 x 4 - 12 a 2 x 2 + 16 a 4 + 16 x 4 x 4 + 2 a 2 x 2 - 8 a 4 8 a 4 + x 4 3

K = d 2 V d x 2 x eq  = - V 0 a 2 8 a 4 + 4 a 4 - 10 4 a 4 - 12 a 2 2 a 2 + 16 a 4 + 16 x 4 4 a 4 + 2 a 2 2 a 2 - 8 a 4 8 a 4 + 4 a 4 3

x c a = ± 2 a

= - V 0 a 2 - 40 a 4 - 24 a 4 + 16 a 4 12 a 4 2 = - V 0 a 2 - 48 a 4 144 a 8 = V 0 a 2 a 4 3 a 8

K = V 0 3 a 2

w = k m

2 π f = k m

S = V 0 3 a 2 m 1 / 2 2 π f = V 0 2 2 a 2 m 1 / 2

Passo 3

(c)

E = 1 2 m v 0 2 + V ( x > 70 ) + V 0 4

= 1 2 m v 0 2 + 0 + V 0 4

E = 1 2 m v 0 2 + V 0 4

V ' a = V a + V 0 4

= - V 0 2 a 2 + a 2 8 a 4 + a 4 + V 0 4 = - 2 V 0 a 4 9 a 4 + V 0 4 = - 2 V 0 9 + V 0 4 = - 8 V 0 36 + a V 0 36 = V 0 36

E = T a + V ' ( a )

1 2 m v 2 + V e 4 = T a + V ' ( a )

1 2 m v 0 2 + V 0 4 - V 1 ( a ) = T a 1 2 m v 0 2 + V 0 4 - V 0 36 = T a 1 2 m V 0 2 + 9 V 0 36 - V 0 30 = T a 1 2 m v 0 2 + 8 N 0 36 = T e 1 2 m v 0 2 + 2 V 0 9 = T n

x > T 0 T a α > 1 2 m v 0 2 1 2 m v 0 2 + 2 v 0 4 1 α < 1 2 m v 0 2 + 2 V 0 a 1 2 m v 2

< 1 + 4 v 0 9 m v 0 2

α > 1 + 4 v 0 9 m v 0 2 - 1 permanece bem

Preso em um lado do poço

T a = 1 2 m v 0 2 + 2 V 0 9

Energia deve ser reduzida para

V 0 4 - V 0 8 = V 0 8

Ficar preso no lado do poço

T e s = 1 2 m v 0 2 + 2 v 0 9 - v 0 8

= 1 2 m v 0 2 + 16 v 0 72 - 9 v 0 72

T a = 1 2 m v 0 2 + 7 V 0 72

α T a > T 0 α > T 0 T a 1 α < T a T 0 = 1 2 m v 0 2 + 7 V 0 T 2 1 2 m v 0 2 1 α < 1 + 7 V 0 36 m v 0 2

α > 1 + 7 V 0 36 m v 0 2 - 1

Pontos de viragem quando α = 1 – 100% de perda de energia cinética

E = V ' ( a ) = V 0 36 V 0 36 = V ( a ) + V 0 4

8 3 6 = a 2 a 2 + x 2 8 a 4 + x 4

2 8 a 4 + x 4 = 9 a 2 a 2 + x 2 2 x 4 + 16 a 4 - 9 a 4 - 9 a 2 x 2 = 0 2 x 4 - 9 a 2 x 2 + 7 a 4 = 0             y = x 2 2 y 2 - 9 a 2 y + 7 a 4 = 0 y = 9 a 2 ± 81 a 4 - 4 ( 2 ) 7 a 4 4

= 9 a 2 ± 25 a 2 4 = 9 a 2 ± 5 a 2 4 = a 2 or 7 2 a 2

x = ± a   o u   ± 7 2 1 / 2 a x = a , 7 2 1 / 2

Resposta

x = a , 7 2 1 / 2