Enunciado

69. Uma massa de 10   k g está se deslocando para direita com uma velocidade igual a 2,0   m / s sobre uma superfície horizontal quando colide com uma segunda massa inicialmente em repouso, mas presa a uma mola leve de constante 80,0   N / m . A primeira massa gruda-se a segunda. ( a ) Calcule a frequência, a amplitude e o período das oscilações subsequentes. ( b ) Quanto tempo leva para o sistema retornar pela primeira vez à posição que estava imediatamente depois da colisão?

Passo 1

Para esse problema vai ser útil usar a conservação de momento linear, já que temos uma colisão, a conservação do momento para esse caso diz que o momento antes da colisão é igual ao momento depois da colisão, assim:

p 0 = p f

⇒ m v 0 = 2 m v f

Onde inicialmente só tínhamos uma massa se movendo e depois da colisão as duas massas se movem juntas.

Dessa fórmula conseguimos tirar a velocidade no qual as massas se movem depois da colisão

Tendo a velocidade, vamos considerar o instante logo após da colisão, nesse instante só temos energia cinética, então a equação de energia mecânica para M H S fica da seguinte forma:

1 2 2 m v f 2 = 1 2 k A 2

Dessa equação conseguimos isolar A que é a amplitude do movimento.

Para achar a frequência podemos usar a seguinte fórmula de um M H S :

f = 1 2 π k m

Só que só temos frequência após a colisão logo as massas estão grudadas, logo:

f = 1 2 π k 2 m

Achando a frequência, achar o período fica tranquilo de se encontrar, já que:

T = 1 f

Poderíamos ter achado o período primeiro e depois a frequência, tanto faz a ordem.

Para o item ( b ) , vamos pensar o seguinte, antes da colisão a mola estava em sua posição de equilíbrio, assim que a massa bateu na que estava parada, elas caminharão até a amplitude e depois voltando.

Da posição de equilíbrio até a amplitude, temos um quarto de período, da amplitude até o ponto de equilíbrio temos mais um quarto de período, que somando da meio período, assim o tempo que é pedido no item ( c ) é metade do período.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a velocidade depois da colisão com a fórmula da conservação de momento, temos:

m v 0 = 2 m v f

⇒ 2 v f = v 0

⇒ v f = v 0 2

Sabendo que v 0 = 2,0   m / s , temos que:

v f = 1   m / s

Passo 3

Agora que temos a velocidade, podemos isolar a amplitude na fórmula da energia mecânica comentada no passo 1 , assim:

1 2 2 m v f 2 = 1 2 k A 2

⇒ A 2 = 2 m k v f 2

Logo:

A = 2 m k v f

Substituindo m ,   v f e k por seus valores, temos:

A = 2 10 80 * 1

Assim:

A = 0,5   m

Passo 4

Agora vamos encontrar a frequência e o período da oscilação, temos a seguinte fórmula para frequência:

f = 1 2 π k 2 m

Substituindo m e k por seus valores, temos:

f = 1 2 π 80 2 10

⇒ f = 1 2 π 4

Logo, temos que:

f = 0,318   H z

Tendo a frequência vamos achar o período, temos:

T = 1 f

⇒ T = 1 0,318

⇒ T = 3,14   s

Passo 5

Como foi dito no passo 1 o tempo de as massas passarem pelo ponto inicial de novo será igual a metade do período, assim:

t = T 2

⇒ t = 3,14 2

= 1,57   s

Resposta

( a )

A = 0,5   m

f = 0,318   H z

T = 3,14   s

( b )

t = 1,57   s

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