Uma massa submetida a uma força restauradora linear - k x e a um amortecimento - b x ˙ , desloca-se a um distância x 0 da posição de equilíbrio, sendo largada com velocidade inicial igual a zero. Determine os movimentos para os casos de subamortecimento, amortecimento crítico e superamortecimento.

Passo 1

Condições Iniciais:  t 0 = 0 ; V ( 0 ) = 0 ; x ( 0 ) = x 0

i) Movimento subamortecido

Neste caso  ω 0 > γ ; p = - γ ± i ω 1

x ( t ) = C 1 e - γ t + i ω 1 t + C 2 e - γ t - i ω 1 t (1) x ( t ) = e - γ t C 1 e i ω 1 t + C 2 e - i ω 1 t x ( t ) = e - γ t C 1 e i ω 1 t + C 2 e - i ω 1 t x ( t ) = e - γ t B 1 c o s ⁡ ω 1 t + B 2 s e n ⁡ ω 1 t x 0 = x ( 0 ) substituindo em (2) x 0 = B 1 c o s ⁡ 0 ⇒ B 1 = x 0

V ( t ) = x ˙ = - γ e - γ t B 1 c o s 1 ⁡ t + B 2 s e n ⁡ ω 1 t + e - γ t - ω 1 B 1 s e n ⁡ ω 1 t + ω 1 B 2 c o s ⁡ ω 1 t

V ( 0 ) = 0 = - γ B 1 + ω 1 B 2

B 2 = γ B 1 ω 1 = γ x 0 ω 1

Finalmente, podemos escrever a expressão para  x ( t )  no caso do movimento subamortecido:

x ( t ) = x 0 e - γ t c o s ⁡ ω 1 t + γ ω 1 s e n ⁡ ω 1 t

Passo 2

ii) Movimento criticamente amortecido

Neste caso,  ω 0 = γ ; p = - γ ± i ω 1

x ( t ) = C 1 e - γ t + i ω 1 t + C 2 e - γ t - i ω 1 t (3) x ( t ) = C 1 + C 2 t e - γ t x ( 0 ) = x 0 = C 1 V ( t ) = x ˙ = - γ e - γ t C 1 + C 2 t + e - γ t C 2 0 = V ( 0 ) = - γ C 1 + C 2 C 2 = γ C 1 = γ x 0 x ( t ) = x 0 + γ x 0 t e - γ t x ( t ) = x 0 ( 1 + γ t ) e - γ t

Passo 3

iii) Movimento superamortecido ω 0 < γ

x ( t ) = C 1 e - γ t + i ω 1 t + C 2 e - γ t - i ω 1 t x ( t ) = C 1 e - γ 1 t + C 2 e - γ 2 t x 0 = x ( 0 ) = C 1 + C 2 onde : - γ 1 = - γ - γ 2 - ω 0 2 1 2

- γ 2 = - γ + γ 2 - ω 0 2 1 2

V ( t ) = x ˙ = - γ 1 C 1 e - γ 1 t - γ 2 C 2 e - γ 2 t 0 = V ( 0 ) = - γ 1 C 1 - γ 2 C 2 C 1 = - γ 2 γ 1 C 2 x 0 = - γ 2 γ 1 C 2 + C 2 = C 2 1 - γ 2 γ 1 = γ 1 - γ 2 γ 1 C 2 C 2 = γ 1 γ 1 - γ 2 x 0 C 1 = - γ 2 γ 1 γ 1 γ 1 - γ 2 x 0 C 1 = - γ 2 γ 1 - γ 2 x 0

x ( t ) = - γ 2 γ 1 - γ 2 x 0 e - γ 1 t + γ 1 γ 1 - γ 2 x 0 e - γ 2 t x ( t ) = x 0 γ 1 - γ 2 - γ 2 e - γ 1 t + x 0 γ 1 - γ 2 γ 1 e - γ 2 t x ( t ) = x 0 γ 1 - γ 2 - γ 2 e - γ 1 t + γ 1 e - γ 2 t x ( t ) = x 0 γ 1 - γ 2 γ 1 e - γ 2 t - γ 2 e - γ 1 t

Resposta

i -   x ( t ) = x 0 e - γ t c o s ⁡ ω 1 t + γ ω 1 s e n ⁡ ω 1 t

ii- x ( t ) = x 0 ( 1 + γ t ) e - γ t

iii- x ( t ) = x 0 γ 1 - γ 2 γ 1 e - γ 2 t - γ 2 e - γ 1 t