Uma massa m sujeita a uma força restauradora linear -kx e amortecimento -bx ˙ é deslocada a uma distância x0 do equilíbrio e liberada com velocidade inicial zero. Encontre o movimento nos casos subamortecido, criticamente amortecido e superamortecido.

Passo 1

(a) V ( x ) = - a x 6 + b x 12

F = - d V d x

Passo 2

(b)

Máximo

0 = - 6 a x - 7 + 12 b x - 13 6 a x - 7 = 12 b x - 13 6 a x 7 = 12 b x 13 x 7 6 a = x 13 12 b x 13 12 b - x 7 6 a = 0

x 7 x 6 12 b - 1 6 a = 0 x 6 12 b = 1 6 a x 6 = 2 b a x = ± 2 b a 6

V ± c a 6 = - a 2 b + b 4 b 2 a 2

= - a 2 2 b + a 2 4 + b = - 2 a 2 + a 2 4 b = - a 2 b

Zeros: 0 = - a x 6 + b x 12

a x 6 = b x 12 x 6 a = x 12 b x 12 b - x 6 a = 0

x 6 x 6 b - 1 a = 0 x 6 b - 1 a = 0 x b b = 1 a x 6 = b a x = ± b a 6

Passo 3

(c) a distância de equilíbrio de b é

x e q = ± 2 b a 1 / 6

Para determinar o período de pequenas oscilações sobre xeq

V ( x ) = V x eq  + d V d x x eg  x - x eq  + 1 2 d 2 V d x 2 xeq  x - x e g 2 + 1 6 d 3 V d x 3 eef  x - x e q 3 + ⋯

(expansão de Taylor)

d y d x x e g = 0

pode diminuir V(x), por exemplo, sem afetar os resultados físicos,

V ( x ) = 1 2 d y d x 2 x - x x e q 2

Deixando d z V d x z x e q = k  e   x ' = x - x   eq

V x ' = 1 2 k x 2 + + ⋯ , uma vez que    x - x 0 < < 1 , termos altos podem ser ignorados

Então, ω = k m .

k = d 2 d x 2 - a x 2 + b x 2 x e q

= d d x 6 a x - 7 - 12 b x - 13 eeg  = 42 a x - 8 + 156 b x - 14 x = a = 2 b a 1 / 6 = - 42 a 2 b a - 4 3 + 156 b 2 b a - 7 3 = 42 a a 2 b 4 3 + 156 b a 2 b 2 3 = 42 a 2 2 b a 2 b 1 3 + 156 a 2 4 b b a 2 b 1 3 = - 21 a 2 b a 2 b 1 3 + 3 a a 2 b a 2 b 1 / 3 = 18 a 2 b a 2 b 1 3

ω = k m 2 π f = k m 1 2 π L = m k

T = 1 f = 2 π k m k T = 2 π m 18 a 2 b a 2 b 1 / 3 1 / 2

= 2 π m 1 / 2 18 1 / 8 a 2 b 1 / 2 a 2 b 1 / 6 = 2 π 3 m 1 / 2 2 1 / 2 a 2 b 1 / 2 a 2 b 1 / 6 = 2 π 3 m 3 / 6 2 3 / 6 a 2 b 1 / 6 a 2 b 7 / 6

T = 2 π 3 m 3 b 4 4 a 7 1 / 6

Resposta

T = 2 π 3 m 3 b 4 4 a 7 1 / 6