Enunciado

Para medir a força combinada de atrito (atrito de rolamento mais arraste do ar) sobre um carro em movimento, uma equipe de engenheiros automobilísticos, da qual você faz parte, desliga o motor e deixa que o carro desça em ponto morto ladeiras de inclinações conhecidas. A equipe recolhe os seguintes dados: (1) Em uma ladeira de 2,87 ° , o carro desce com a rapidez constante de 20   m / s . (2) Em uma ladeira de 5,74 ° , a rapidez constante de desicda é 30   m / s . A massa total do carro é 1000   k g . (a) Qual é a magnitude da força de atrito combinada a 20   m / s ( F 20 ) e a 30   m / s ( F 30 )? (b) Qual deve ser a potência desenvolvido pelo motor para se dirigir o carro em uma estrada plana com uma rapidez constante de 20   m / s ( P 20 ) e de 30   m / s ( P 30 )? (c) A potência máxima que o motor pode desenvolver é 40   k W . Qual é o maior ângulo de inclinação que permite o carro subir uma ladeira com uma rapidez constante de 20   m / s ? (d) Suponha que o motor realize a mesma quantidade de trabalho útil, para cada litro de gasolina, não importando qual a rapidez. A 20   m / s , em uma estrada plana, o carro faz 12,7   k m / L . Quantos quilômetros por litro ele faz viajando a 30   m / s ?

Passo 1

(a) Para que a rapidez seja constante, a força de atrito precisa estar em equilíbrio com a componente P x da força peso (a componente paralela à superfície do plano inclinado).

Então:

F a t = P x

F a t = m g sen ⁡ θ

Vamos substituir os valores para calcular a magnitude dessa força em cada caso:

F 20 = 1000 9,81 sen ⁡ 2,87 ° = 491   N

F 30 = 1000 9,81 sen ⁡ 5,74 ° = 981   N

Passo 2

(b) Em cada um desses casos, podemos calcular a potência fornecida pelo motor para manter a rapidez constante usando a seguinte expressão:

P = F v

Vamos substituir os valores e calcular a potência em cada caso:

P 20 = 491 20 = 9,8   k W

P 30 = 981 30 = 29   k W

Passo 3

(c) Quando o carro está subindo um plano inclinado por θ com rapidez constante, a força fornecida pelo motor tem que estar em equilíbrio com a força peso P x e à força de atrito F a t :

∑ F x = 0

F - P x - F a t = 0

F = m g sen ⁡ θ + F a t

Conhecendo a potência e a rapidez do carro, podemos reescrever a força fornecida pelo motor:

P = F v         ⇒           F = P v

P v = m g sen ⁡ θ + F a t

E agora vamos isolar sen ⁡ θ para calcular esse ângulo:

sen ⁡ θ = P v - F a t m g

E a força de atrito nesse caso é a força F 20 que calculamos lá em cima:

sen ⁡ θ = 40.10 3 20 - 491 ( 1000 ) ( 9,81 ) = 0,154

θ = 8,8 °

Passo 4

(d) Vamos escrever uma expressão para o “trabalho realizado por litro de gasolina”:

W ' = W n = F Δ x n

Onde n é o número de litros de combustíveis queimados durante o deslocamento Δ x . Pelo enunciado, sabemos que esse valor é o mesmo para qualquer rapidez, então:

W 20 ' = W 30 '

F 20 Δ x 20 n 20 = F 30 Δ x 30 n 30

E a razão Δ x / n é o número de k m / L que o carro faz em certa rapidez, já sabemos que:

Δ x 20 n 20 = 12,7   k m / L

E então podemos calcular Δ x 30 / n 30 :

Δ x 30 n 30 = 12,7 F 20 F 30

Δ x 30 n 30 = 12,7   491 981 = 6,36   k m / L

Resposta

(a) F 20 = 491   N e F 30 = 981   N .

(b) P 20 = 9,8   k W e P 30 = 29   k W .

(c) θ = 8,8 ° .

(d) 6,36   k m / L .

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