O medo de Bohr para o átomo de hidrogênio pode ser comparado ao sistema Terra Lua, em que o papel da Terra é desempenhado pelo próton e o da Lua pelo elétron, a atração gravitacional sendo substituída pela eletrostática. A distância média entre o elétron e o próton no átomo é da ordem de 0.5 angstrons. (a) Admitindo esse modelo, qual seria a frequência de revolução

do elétron em torno do próton? Compare-a com a frequência da luz visível. (b) Qual seria a velocidade do elétron na sua órbita? É consistente usar a eletrostática nesse caso? É conveniente usar a mecânica não-relativística?

Passo 1

Fala galera, tudo tranquilo? Bem, esse problema consiste em você fazer uma relação entre duas forças conhecidas. Força número 1 é a força eletrostática, a força número 2 é a força centrípeta. O que temos aqui será ilustrado na figura a baixo.

O que nós temos aqui é o próton “P” fazendo o papel da terra e o elétron “e” fazendo o papel da Lua.

O que nós temos agora ṕe uma igualdade entre as forças:

F → e = F → c → 1 4 π ϵ 0   Q e   Q p r ² = m e   ( v → ² r ) , precisamos relacionar a velocidade linear com a velocidade angular. Já conhecemos bem a relação v   =   ω r agora precisamos substituir essa velocidade na nossa equação.

F → e = F → c → 1 4 π ϵ 0   Q ² r ² = m e   ω ² r .

As cargas do próton e do elétron são iguais, portanto, temos apenas Q².

Vamos agora relacionar a velocidade angular para que possamos encontrar a frequência. Sabemos que ω =   2 π f , onde f é a frequência. Substituindo agora essa equação na nossa equação de igualdade das forças, temos

F → e = F → c → 1 4 π ϵ 0   Q ² r ² = m e   ( 2 π f ) ² r

Vamos agora isolar apenas a frequencia.

( 2 π f ) 2 =   1 4 π ϵ 0 Q ² m e r ³ → f ² = 1 16   π ³   ϵ 0   Q ² m e   r ³

f = 1 16   π ³   ϵ 0   Q ² m e   r ³ agora podemos substituir os valores dados no problema se alguns encontrados em tabelas para que possamos chegar em nossa resposta.

m e = 9.109 × 1 0 − 31 k g

e = 1.6 × 1 0 − 19 C

π = 3.14

r =   0.5 × 1 0 - 10 m

Obs: 1 4   π   ϵ 0 = K = 9 × 1 0 9

Passo 2

Para o item (b) nós apenas repetimos alguns passos mas desta vez apenas usando a velocidade linear.

F → e = F → c → 1 4 π ϵ 0   Q ² r ² = m e   ( v → ² r )

v 2 = 1 4 π ϵ 0   Q ² r   m e → v = Q ² 4 π ϵ 0 r   m e Aplicamos as substituições dos valores e chegaremos em nossa resposta.

Resposta

(a) f = Q 4 π   r   1 m e   r   π ϵ 0 = 1.6 × 1 0 - 19 ( 4 ) ( 3.14 ) ( 0.5 × 1 0 - 10 ) 1 ( 9.1 × 1 0 - 31 ) ( 0.5 × 1 0 - 10 ) ( 3.14 ) ϵ 0

f =   7.2 × 1 0 15 s - 1 = 7.2 × 1 0 15 H z

Agora, comparando com o espectro da luz visível, que varia entre 4.3 × 1 0 14 H z   ~   7.5 × 1 0 14 H z , nosso resultado é 7.2 × 1 0 15 H z o que podemos afirmar que se encontra na faixa do visível.

(b) v = Q ² 4 π ϵ 0 r   m e = ( 1.6 × 1 0 - 19 ) 2 4 ( 3.14 ) ϵ 0   ( 0.5 × 1 0 - 10 ) ( 9.1 × 1 0 - 31 ) = 2.6 × 1 0 6 m / s

ou v =   2.6 × 1 0 3 k m / s .

Um problema deste tipo é mais apropriado de se trabalhar na física quântica. Se trata de um modelo estacionário. Essa velocidade é bem baixa se considerarmos a velocidade da luz. Portanto, não é consistente.