Enunciado

Mostre que a amplitude da oscilação da voltagem em um oscilador LRC forçado será maior do que a do gerador se

ω 2 > ω 0 4 2 ω 0 2 - γ 2

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Antes de começar o problema, preciso destacar um ponto esquecido no enunciado: quando ele diz “voltagem em um oscilador LRC”, ele está se referindo especificamente a voltagem no indutor!

Na equação 26.74, foi encontrado que a corrente desse tipo de circuito é dada por

I t = ω E 0 L D   s e n   ϕ - ω t

Como queremos a voltagem no indutor, precisamos da derivada da corrente:

V t = L d I d t = - ω 2 E 0 D cos ⁡ ϕ - ω t

A tensão no gerador é

E t = E 0 cos ⁡ ω t

Passo 2

Para que a amplitude da tensão no indutor seja maior que a do gerador, devemos ter

ω 2 E 0 D > E 0

Desta forma, achamos

ω 4 > D

Usando a expressão para D :

ω 4 > ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2

Logo,

ω 4 > ω 0 4 - 2 ω 0 2 ω 2 + ω 4 + γ 2 ω 2

Portanto,

ω 2 2 ω 0 - γ 2 > ω 0 4

Assim,

ω 2 > ω 0 4 2 ω 0 2 - γ 2

Era isso que o exercício pedia para você mostrar!

Resposta

Demonstração.

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