Mostre que a distância entre um objeto e a imagem real formada por uma lente convergente delgada é sempre maior ou igual a quatro vezes a distância focal da lente.

Passo 1

Opaa, tranquilo? Vamos para mais uma questão do nosso famoso Halliday!

A equação típica utilizada para lentes delgadas é dada por:

1 p + 1 i = 1 f

Passo 2

Pelo enunciado temos que as grandezas representadas por p , i   e   f são positivas.

Para distância do objeto até a imagem temos a seguinte relação:

x = p + i

Isolando o valor de i , temos:

i = x - p

Esse resultado será substituído na equação do passo 1, assim a gente vai ter que:

1 p + 1 x - p = 1 f

x - p + p p ( x - p ) = 1 f

x p ( x - p ) = 1 f

f x = p x - p 2

Isolaremos o valor de x :

p x - f x = p 2

x p - f = p 2

x = p 2 p - f

Passo 3

Como iremos trabalhar com valores mínimos admissíveis de maneira que queremos mostrar que a distância entre um objeto e a imagem real formada por uma lente convergente delgada seja sempre maior ou igual a quatro vezes a distância focal da lente, iremos derivar a equação encontrada de forma a encontrar seu valor mínimo.

d x d p = d d p ( p 2 p - f )

= p 2 - 2 f p p - f 2

p 2 - 2 p f = 0

p = 2 f

Substituindo em x , temos:

x = p 2 p - f

x = 2 f 2 ( 2 f ) - f

Logo:

x = 4 f

Resposta

x m i n = 4 f