Mostre que, em duas dimensões, o divergente se transforma como um escalar sob rotações. [Dica: use a Equação 1.29 para determinar v y ̄ e v z ̄ e use o método do problema 1.14 para calcular as derivadas. Seu objetivo é mostrar que ∂ v y ̄ / ∂ y ̄ + ∂ v z ̄ / ∂ z ̄ = ∂ v y / ∂ y + ∂ v z / ∂ z .]

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo tranquilo? Então, vamos partir para mais uma resolução de questões!

Bom, vamos seguir a sugestão do livro e usar a equação 1.29. Nesse caso, vamos colocar v y ̄ no lugar de A y ̄ , v z ̄ no lugar de v z ̄ e, assim por diante:

v y ̄ = c o s ϕ v y + s e n   ϕ v z

v z ̄ = - s e n   ϕ v y + c o s ϕ v z

A gente pode fazer isso também para relacionar as coordenadas y ̄ e z ̄ com y , z . Mas, na verdade, o que é mais interessante pra gente é fazer a transformação contrária, você já vai entender o porquê. A gente conseguiu essa transformação lá no exercício 1.14, então vamos só usar o resultado:

y = c o s ϕ   y ̄ - s e n   ϕ   z ̄

z = s e n   ϕ   y ̄ + c o s ϕ   z ̄

Passo 2

Vamos fazer que nem na questão 1.14 e usar a regra da cadeia:

∂ v y ̄ ∂ y ̄ = ∂ v y ̄ ∂ v y ∂ v y ∂ y ̄ + ∂ v y ̄ ∂ v z ∂ v z ∂ y ̄ = c o s ϕ ∂ v y ∂ y ̄ + s e n   ϕ ∂ v z ∂ y ̄

∂ v z ̄ ∂ z ̄ = ∂ v z ̄ ∂ v y ∂ v y ∂ z ̄ + ∂ v z ̄ ∂ v z ∂ v z ∂ z ̄ = - s e n   ϕ ∂ v y ∂ z ̄ + c o s ϕ ∂ v z ∂ z ̄

Agora, vamos usar a regra da cadeia novamente para resolver os termos do tipo ∂ v y ∂ y ̄ :

∂ v y ̄ ∂ y ̄ = c o s ϕ ∂ v y ∂ y ∂ y ∂ y ̄ + ∂ v y ∂ z ∂ z ∂ y ̄ + s e n   ϕ ∂ v z ∂ y ∂ y ∂ y ̄ + ∂ v z ∂ z ∂ z ∂ y ̄

∂ v z ̄ ∂ z ̄ = - s e n   ϕ ∂ v y ∂ y ∂ y ∂ z ̄ + ∂ v y ∂ z ∂ z ∂ z ̄ + c o s ϕ ∂ v z ∂ y ∂ y ∂ z ̄ + ∂ v z ∂ z ∂ z ∂ z ̄

Passo 3

Pessoal, agora nós vamos usar as relações de y e z que a gente mostrou lá no Passo 1 para obter as derivadas do tipo ∂ y ∂ y ̄ :

∂ y ∂ y ̄ = ∂ z ∂ z ̄ = c o s ϕ

∂ z ∂ y ̄ = - ∂ y ∂ z ̄ = s e n   ϕ

Substituindo isso nas equações do Passo 2, obtemos

∂ v y ̄ ∂ y ̄ = c o s ϕ ∂ v y ∂ y c o s ϕ + ∂ v y ∂ z s e n   ϕ + s e n   ϕ ∂ v z ∂ y c o s ϕ + ∂ v z ∂ z s e n   ϕ

⇒ ∂ v y ̄ ∂ y ̄ = c o s 2 ϕ ∂ v y ∂ y + c o s ϕ s e n   ϕ ∂ v y ∂ z + s e n   ϕ c o s ϕ ∂ v z ∂ y + s e n   2 ϕ ∂ v z ∂ z

∂ v z ̄ ∂ z ̄ = - s e n   ϕ - ∂ v y ∂ y s e n   ϕ + ∂ v y ∂ z c o s ϕ + c o s ϕ - ∂ v z ∂ y s e n   ϕ + ∂ v z ∂ z c o s ϕ

⇒ ∂ v z ̄ ∂ z ̄ = s e n 2   ϕ ∂ v y ∂ y - s e n   ϕ c o s ϕ ∂ v y ∂ z - c o s ϕ s e n   ϕ ∂ v z ∂ y + c o s 2 ϕ ∂ v z ∂ z

Passo 4

Ufaaa! Calma que estamos quase no fim. Agora vamos usar os resultados do passo anterior para finalmente mostrar que ∂ v y ̄ / ∂ y ̄ + ∂ v z ̄ / ∂ z ̄ = ∂ v y / ∂ y + ∂ v z / ∂ z :

∂ v y ̄ ∂ y ̄ + ∂ v z ̄ ∂ z ̄ = c o s 2 ϕ + s e n 2   ϕ ∂ v y ∂ y + c o s ϕ s e n   ϕ - s e n   ϕ c o s ϕ ∂ v y ∂ z

+ s e n   ϕ c o s ϕ - c o s ϕ s e n   ϕ ∂ v z ∂ y + s e n   2 ϕ + c o s 2 ϕ ∂ v z ∂ z

⇒ ∂ v y ̄ ∂ y ̄ + ∂ v z ̄ ∂ z ̄ = 1 ⋅ ∂ v y ∂ y + 0 ⋅ ∂ v y ∂ z + 0 ⋅ ∂ v z ∂ y + 1 ⋅ ∂ v z ∂ z = ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z

Prontinho galera, conseguimos!

Resposta

Veja a resolução acima.