Mostre que, em duas dimensões, o divergente se transforma como um escalar sob rotações. [Dica: use a Equação 1.29 para determinar e e use o método do problema 1.14 para calcular as derivadas. Seu objetivo é mostrar que .]
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo tranquilo? Então, vamos partir para mais uma resolução de questões!
Bom, vamos seguir a sugestão do livro e usar a equação 1.29. Nesse caso, vamos colocar no lugar de , no lugar de e, assim por diante:
A gente pode fazer isso também para relacionar as coordenadas e com . Mas, na verdade, o que é mais interessante pra gente é fazer a transformação contrária, você já vai entender o porquê. A gente conseguiu essa transformação lá no exercício 1.14, então vamos só usar o resultado:
Passo 2
Vamos fazer que nem na questão 1.14 e usar a regra da cadeia:
Agora, vamos usar a regra da cadeia novamente para resolver os termos do tipo :
Passo 3
Pessoal, agora nós vamos usar as relações de e que a gente mostrou lá no Passo 1 para obter as derivadas do tipo :
Substituindo isso nas equações do Passo 2, obtemos
Passo 4
Ufaaa! Calma que estamos quase no fim. Agora vamos usar os resultados do passo anterior para finalmente mostrar que :
Prontinho galera, conseguimos!
Resposta
Veja a resolução acima.