Enunciado

Mostre que, em T = 0   K , a energia média E m é d dos elétrons de condução de um metal é igual a 3 ⋅ E 5 . (Sugestão: de acordo com a definição de média, E m é d = 1 n ⋅ ∫ E ⋅ N O E ⋅ d E , em que n é a concentração de elétrons de condução.)

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos utilizar a equação dada na sugestão do enunciado e considerações sobre as condições de contorno do problema

Passo 2

Temos que N O ( E ) pode ser escrita como N O E = N E ⋅ P E   . Substituindo na equação dada no enunciado, temos que

E m é d = 1 n ⋅ ∫ 0 ∞ E ⋅ N E ⋅ P E ⋅ d E

Sabemos também que N E é proporcional a E 1 2 . Assim, podemos dizer então que

N E = C ⋅ E 1 2

Onde C é uma constante de proporcionalidade. Em T = 0   K , temos que a probabilidade de encontrar os elétrons em energias menores que a de Fermi é 1 e para maiores do que a de Fermi é 0, logo

E m é d = C n ⋅ ∫ 0 E F E 3 2 ⋅ 1 ⋅ d E + ∫ E F ∞ E 3 2 ⋅ 0 ⋅ d E = C n ⋅ ∫ 0 E F E 3 2 ⋅ 1 ⋅ d E = 2 ⋅ C 5 ⋅ n ⋅ E F 5 2

Agora para o número de elétrons livres por unidade de volume é dado por

n = ∫ 0 ∞ N E ⋅ P E ⋅ d E = C ⋅ ∫ 0 E F E 1 2 ⋅ 1 ⋅ d E = 2 ⋅ C 3 ⋅ E F 3 2

Substituindo no primeiro resultado obtido, temos que

E m é d = 2 ⋅ C 5 ⋅ 2 ⋅ C 3 ⋅ E F 3 2 ⋅ E F 5 2 = 3 5 ⋅ E F

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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