(a) Mostre que as Eqs. 33-1 e 33-2 satisfazem as equações de onda do Problema 102. (b) Mostre que expressões da forma E = Em f(kx ± ωt) e B = Bm f(kx ± ωt), em que f(kx ± ωt) é uma função qualquer, também satisfazem as equações de onda.
Passo 1
Eaí meu povo, bora pra mais uma questãzinha do nosso livro!
Se liga que o primeiro temos que organizar nossas informações, temos que:
Tudo certinho, agora vem comigo na resolução!
Passo 2
a) Nosso objetivo é que ambas as equações satisfaçam a equação de onda do problema 102. Show de bola, vamos começar então com a Eq. - 33-1.
Primeiro vamos usar a derivada segunda em relação a , em ambos os lados:
Em seguida vamos usar a derivada segunda em relação a na Eq. 33-1, em ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por , ficamos:
Sabendo , observando ambas as equações temos que:
E assim vemos que as seguintes equações são satisfeitas...
Tranquilão né? Bora para Eq. 33-2
Passo 3
Temos que a Eq. 33-2 é dada por:
Vamos repetir os mesmos procedimentos do passo anterior.
Usando a derivada segunda em relação a em ambos os lados, temos:
Em seguida vamos usar a derivada segunda em relação a na Eq. 33-2, em ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por , ficamos:
Sabendo , observando ambas as equações temos que:
E assim vemos que as seguintes equações são satisfeitas...
Agora vamos pro próximo item!
Passo 4
b) Esse item nos pede para demonstrar que as equações abaixo também satisfazem as equações de onda:
Iremos começar com a !
Faremos novamente os mesmos passos dos itens anteriores. Tirando a derivada segunda em relação a em ambos os lados, temos:
E em seguida usando a segunda derivada em relação a em ambos os lados da equação :
Multiplicando ambos os lados por :
Como
E assim mostrando que:
Passo 5
Agora pra finalizar meus jovens, vamos refazer os passos para equação:
Tirando a derivada segunda em relação a em ambos os lados, temos:
E em seguida usando a segunda derivada em relação a em ambos os lados da equação :
Multiplicando ambos os lados por :
Como
E assim mostrando que:
Então finalmente vemos que tanto a equação e quanto as equações do item a), satisfazem as equações de onda!
Resposta
Letra a)
Letra b)