(a) Mostre que as Eqs. 33-1 e 33-2 satisfazem as equações de onda do Problema 102. (b) Mostre que expressões da forma E = Em f(kx ± ωt) e B = Bm f(kx ± ωt), em que f(kx ± ωt) é uma função qualquer, também satisfazem as equações de onda.

Passo 1

Eaí meu povo, bora pra mais uma questãzinha do nosso livro!

Se liga que o primeiro temos que organizar nossas informações, temos que:

E q .   33 - 1   →   E =   E m s e n   ( k x ±   ω t )

E q .   33 - 2   →   B =   B m s e n   ( k x ±   ω t )

Tudo certinho, agora vem comigo na resolução!

Passo 2

a) Nosso objetivo é que ambas as equações satisfaçam a equação de onda do problema 102. Show de bola, vamos começar então com a Eq. - 33-1.

E =   E m s e n   ( k x ±   ω t )

Primeiro vamos usar a derivada segunda em relação a t , em ambos os lados:

∂ 2 E ∂ t 2 = ∂ 2 ∂ t 2 E m s e n   k x ±   ω t

∂ 2 E ∂ t 2 = - ω 2 E m s e n   k x ±   ω t

Em seguida vamos usar a derivada segunda em relação a x na Eq. 33-1, em ambos os lados:

∂ 2 E ∂ x 2 = ∂ 2 ∂ x 2 E m s e n   k x ±   ω t

Multiplicando ambos os lados por c 2 , ficamos:

c 2 ∂ 2 E ∂ x 2 = c 2 ∂ 2 ∂ x 2 E m s e n   k x ±   ω t

=   - k 2 c 2   E m s e n   k x ±   ω t

Sabendo ω = k c , observando ambas as equações temos que:

c 2 ∂ 2 E ∂ x 2 = - ω 2 E m s e n   k x ±   ω t

E assim vemos que as seguintes equações são satisfeitas...

∂ 2 E ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 E ∂ x 2

Tranquilão né? Bora para Eq. 33-2

Passo 3

Temos que a Eq. 33-2 é dada por:

B =   B m s e n   ( k x ±   ω t )

Vamos repetir os mesmos procedimentos do passo anterior.

Usando a derivada segunda em relação a t em ambos os lados, temos:

∂ 2 B ∂ t 2 = ∂ 2 ∂ t 2 B m s e n   k x ±   ω t

∂ 2 B ∂ t 2 = - ω 2 B m s e n   k x ±   ω t

Em seguida vamos usar a derivada segunda em relação a x na Eq. 33-2, em ambos os lados:

∂ 2 B ∂ x 2 = ∂ 2 ∂ x 2 B m s e n   k x ±   ω t

Multiplicando ambos os lados por c 2 , ficamos:

c 2 ∂ 2 B ∂ x 2 = c 2 ∂ 2 ∂ x 2 B m s e n   k x ±   ω t

=   - k 2 c 2   B m s e n   k x ±   ω t

Sabendo ω = k c , observando ambas as equações temos que:

c 2 ∂ 2 B ∂ x 2 = - ω 2 B m s e n   k x ±   ω t

E assim vemos que as seguintes equações são satisfeitas...

∂ 2 B ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 B ∂ x 2

Agora vamos pro próximo item!

Passo 4

b) Esse item nos pede para demonstrar que as equações abaixo também satisfazem as equações de onda:

  E =   E m f ( k x ±   ω t )

B =   B m f ( k x ±   ω t )

Iremos começar com a E =   E m f ( k x ±   ω t ) !

Faremos novamente os mesmos passos dos itens anteriores. Tirando a derivada segunda em relação a   t em ambos os lados, temos:

∂ 2 E ∂ t 2 = E m ∂ 2 f ( k x ± ω t ) ∂ t 2

= ω 2 E m d 2 f d ( k x ± ω t )

E em seguida usando a segunda derivada em relação a x em ambos os lados da equação E :

∂ 2 E ∂ x 2 = E m ∂ 2 f ( k x ± ω t ) ∂ x 2

Multiplicando ambos os lados por c 2 :

c 2 ∂ 2 E ∂ x 2 = c 2 E m ∂ 2 f ( k x ± ω t ) ∂ x 2

c 2 k 2 E m d 2 f d ( k x ± ω t 2

Como ω = k c

c 2 ∂ 2 E ∂ x 2 = ω 2 E m d 2 f d ( k x ± ω t )

E assim mostrando que:

∂ 2 E ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 E ∂ x 2

Passo 5

Agora pra finalizar meus jovens, vamos refazer os passos para equação: B =   B m f ( k x ±   ω t )

Tirando a derivada segunda em relação a   t em ambos os lados, temos:

∂ 2 B ∂ t 2 = B m ∂ 2 f ( k x ± ω t ) ∂ t 2

= ω 2 B m d 2 f d ( k x ± ω t )

E em seguida usando a segunda derivada em relação a x em ambos os lados da equação B :

∂ 2 B ∂ x 2 = B m ∂ 2 f ( k x ± ω t ) ∂ x 2

Multiplicando ambos os lados por c 2 :

c 2 ∂ 2 B ∂ x 2 = c 2 B m ∂ 2 f ( k x ± ω t ) ∂ x 2

c 2 k 2 B m d 2 f d ( k x ± ω t 2

Como ω = k c

c 2 ∂ 2 B ∂ x 2 = ω 2 B m d 2 f d ( k x ± ω t )

E assim mostrando que:

∂ 2 B ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 B ∂ x 2

Então finalmente vemos que tanto a equação E e B quanto as equações do item a), satisfazem as equações de onda!

Resposta

Letra a)

∂ 2 E ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 E ∂ x 2

∂ 2 B ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 B ∂ x 2

Letra b)

∂ 2 E ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 E ∂ x 2

∂ 2 B ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 B ∂ x 2