(a) Mostre que, se o objeto O da Fig. 34-19c for deslocado do ponto focal F1 em direção ao olho do observador, a imagem se deslocará do infinito em direção à lente e o ângulo θ′ (e, portanto, a ampliação angular mθ) aumentará. (b) Se o processo continuar, em que ponto estará a imagem quando mθ atingir o maior valor que permite observar uma imagem nítida? (c) Mostre que esse valor máximo de mθ é 1 + (25 cm)/f. (d) Mostre que, nessa situação, a ampliação angular é igual à ampliação lateral.

Passo 1

Galerinha bonita, bora pra mais um probleminha de do nosso Halliday!

a) neste caso i < 0 então i =   -   | i | , e a Eq. 34-9 do livro torna-se:

1 f = 1 p - 1 | i |

Iremos diferenciar em relação ao tempo (t) para obter:

d i d t = i p 2 d p d t    

Conforme o objeto é movido em direção à lente, p está diminuindo, então d p d t   < 0 . Consequentemente, a expressão acima mostra que d i d t < 0 ; ou seja, a imagem se move do infinito. A ampliação angular m θ = θ ' θ também aumenta conforme mostra o gráfico a seguir:

Para obter este gráfico de m θ , escolhemos f = 30   c m e h = 2   c m .

Passo 2

b) Quando a imagem parece estar no ponto próximo (ou seja i = p n ) , m θ está no seu valor máximo utilizável, uma vez que geralmente se considera p n igual a 25 cm (valor também usado no gráfico acima).

Passo 3

c) Nesse caso:

p = i f i - f = i f i + f = p n f p n + f

Se usarmos a aproximação de pequeno ângulo, teremos θ ' ≅ h ' i e θ ≅ h p n .

Portanto, encontramos:

m θ ≅ h ' i h p n

Que se torna:

m θ ≅ h ' h × p n i

= i p × p n i

= p n p = p n p n f ( p n + f ) =   p n + f f

Que simplifica o resultado desejado.

Passo 4

d) A ampliação linear é dada por h ' h ≅ m θ i ( p n . Assim que definirmos i = p n , isso nos mostra a igualdade nas ampliações.

Resposta

Letra a)

Gráfico

Letra b)

Quando a imagem parece estar no ponto próximo (ou seja i = p n ) , m θ está no seu valor máximo utilizável, uma vez que geralmente se considera p n igual a 25 cm (valor também usado no gráfico acima).

Letra c)

p n + f f

Letra d)

A ampliação linear é dada por h ' h ≅ m θ i ( p n . Assim que definirmos i = p n , isso nos mostra a igualdade nas ampliações.