Mostre, a partir das Eqs. 33-11 e 33-17, que E(x, t) e B(x, t), o campo elétrico e o campo magnético associados a uma onda eletromagnética, devem satisfazer as “equações de onda”

Passo 1

Opa galerinha, tranquilo? Bora pra uma questãozinha do Halliday.

O procedimento para a resolução é simples, mas requer atenção, então vem comigo:

Iremos derivar em relação a x , ambos os lados da Eq. 33-11:

∂ ∂ x ∂ E ∂ x = ∂ 2 E ∂ x 2 = ∂ ∂ x - ∂ B ∂ t = - ∂ 2 B ∂ x ∂ t

Agora iremos diferenciar ambos os lados da Eq. 33-18 em relação a t :

∂ ∂ t - ∂ B ∂ x = - ∂ 2 B ∂ x ∂ t = ∂ ∂ t ε 0 µ 0 ∂ E ∂ t = ε 0 µ 0 ∂ 2 E ∂ t 2

Vamos substituir:

∂ 2 E ∂ x 2 =   - ∂ 2 B ∂ x ∂ t

Na primeira equação para a segunda, temos:

ε 0 µ 0 ∂ 2 E ∂ t 2 = ∂ 2 E ∂ x 2             →       ∂ 2 E ∂ t 2   = 1 ε 0 µ 0   ∂ 2 E ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 E ∂ x 2  

Similarmente iremos diferenciar ambos os lados da Eq. 33-11 em relação a t :

∂ 2 E ∂ x ∂ t = - ∂ 2 B ∂ t 2

E diferenciamos também ambos os lados da Eq. 33-18 em relação a x :

- ∂ 2 B ∂ x 2 = ε 0 µ 0 - ∂ 2 E ∂ x ∂ t

Por fim, combinando as equações, temos:

∂ 2 B ∂ t 2 = 1 ε 0 µ 0   ∂ 2 E ∂ x 2 = c 2 ∂ 2 B ∂ x 2

Resposta

∂ 2 B ∂ t 2 = 1 ε 0 µ 0   ∂ 2 E ∂ x 2 = c 2 ∂ 2 B ∂ x 2