Mostre que uma rede de difração feita de faixas alternadas transparentes e opacas de mesma largura elimina todos os máximos de ordem par, exceto o máximo central.

Passo 1

Fala galera, bora pra mais um probleminha do nosso livro!

Para resolução do problema iremos analisar as duas equações abaixo:

I ( θ ) = I m s e n α α 2

α = π a λ s e n θ

Temos que todas as faixas tem a mesma largura, logo:

d = a

E assim, temos a figura de difração de uma fenda de largura 2a! Vamos então, substituir essa relação acima nas duas equações anteriores. O ângulo α vai ser dado por:

α = I m 2 a π s e n θ λ

O que nos dá:

I ( θ ) = I m s e n α α 2

I ( θ ) = I m s e n 2 a π s e n θ λ 2 a π s e n θ λ 2

Ou seja, por essa equação vemos que todos os máximos de ordem par são eliminados!

Passo 2

No caso de fendas iguais, de largura a , cujos centros estão separados por uma distância d , a intensidade da luz vira com o ângulo em relação ao eixo central, de acordo com a equação abaixo...

I ( θ ) = I m ( cos 2 ⁡ β ) s e n α α 2

Onde β é dado por:

β = π d λ s e n θ

E α nós já sabemos que é expresso como:

α = π a λ s e n θ

Porém, como d = α , então:

β = α = π a λ s e n θ

E assim, a equação de intensidade passa a ser descrita como:

I ( θ ) = I m ( cos 2 ⁡ π a λ s e n θ ) s e n π a λ s e n θ π a λ s e n θ 2

I ( θ ) = I m c o s π a λ s e n θ × s e n π a λ s e n θ π a λ s e n θ 2

Multiplicando o numerador e o denominador por 2 e utilizando a identidade trigonométrica que diz que:

s e n 2 θ = 2 s e n θ c o s θ

Logo:

I ( θ ) = I m cos ⁡ π a λ s e n θ × s e n π a λ s e n θ π a λ s e n θ 2

I ( θ ) = I m 2 × cos ⁡ π a λ s e n θ × s e n π a λ s e n θ 2 × π a λ s e n θ 2

Obtemos uma equação igual à anterior:

I ( θ ) = I m s e n 2 a π a s e n θ λ 2 a π a s e n θ λ 2

Ou seja, os máximos de ordem também serão eliminados.

Te vejo na próxima questão!!!

Resposta

I ( θ ) = I m s e n 2 a π a s e n θ λ 2 a π a s e n θ λ 2