Enunciado

a) Mostre que, em ressonância, o ângulo ϕ de um oscilador LRC forçado vale π / 2 .

b) Mostre que nesse caso a voltagem no capacitor oscila atrasada de π / 2 em relação ao gerador.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Nesse exercício vamos brincar um pouco com impedâncias e circuito RLC. Na equação 26.74, foi definido que

cos ⁡ ϕ = ω 0 2 - ω 2 D

Com isso, na ressonância temos que ω = ω 0 , de modo que

cos ⁡ ϕ = 0

Desta forma, o ângulo ϕ pode ser ± π / 2 . Como descobrir seu sinal? Olhamos para o seno:

s e n   ϕ = γ ω D

Lembre-se que

D = ω 0 2 - ω 2 2 + γ ω 2

Na ressonância, temos que

D = γ ω 2

Assim,

s e n   ϕ = 1

Desta forma, chegamos em

ϕ = π 2

Passo 2

Para o item (b) temos que lembrar que a corrente é a derivada da carga no capacitor. Desta forma, precisamos integrar a corrente:

q t = ∫ I t   d t = ω E 0 L D ∫ s e n   ϕ - ω t   d t

Fazendo a integral:

q t = E 0 L D cos ⁡ ϕ - ω t

A tensão no capacitor é

V t = q t C = E 0 L C D cos ⁡ ϕ - ω t

Você deve saber que o cosseno está sempre defasado em π / 2 com relação ao seno, de modo que provamos o item (b) 😉!

Resposta

Demonstração.

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