Enunciado

Nesse problema exploramos alguns dos teoremas (utilizados sem prova) mais úteis que envolvem os polinômios de Hermite.

a) A fórmula de Rodrigues diz que

H n ξ = - 1 n   e ξ 2 d d ξ n e - ξ 2

Use-a para obter H 3 e H 4 .

Passo 1

E aí, beleza? Esse item vai ser relativamente simples de resolver, basta aplicarmos as derivadas (e tomar cuidado pra não errarmos alguma conta no meio do caminho...) e chegaremos nas respostas. Vamos então calcular as derivadas de e - ξ 2 :

d d ξ e - ξ 2 = - 2 ξ e - ξ 2

d 2 d ξ 2 e - ξ 2 = - 2 d d ξ ξ e - ξ 2 ∴ d 2 d ξ 2 e - ξ 2 = 2 2 ξ 2 - 1 e - ξ 2

Ok, aqui os cálculos começam a ficar um pouco mais complicados, mas vamos seguir com calma:

d 3 d ξ 3 e - ξ 2 = 2 d d ξ ( 2 ξ 2 - 1 ) e - ξ 2

Assim, aplicando a regra do produto, chegamos em:

d 3 d ξ 3 e - ξ 2 = - 4 2 ξ 3 - 3 ξ e - ξ 2

Por fim, para a derivada de quarta ordem:

d 4 d ξ 4 e - ξ 2 = - 4 d d ξ 2 ξ 3 - 3 ξ e - ξ 2

Sigamos sem medo...

d 4 d ξ 4 e - ξ 2 = 4   4 ξ 4 - 12 ξ 2 + 3 e - ξ 2

Passo 2

Agora que obtivemos as derivadas de terceira e quarta ordem para e - ξ 2 , podemos determinar as funções de Hermite com a fórmula do enunciado:

H 3 ξ = 8 ξ 3 - 3 ξ

H 4 ξ = 16 ξ 4 - 48 ξ 2 + 12

Resposta

H 3 ξ = 8 ξ 3 - 3 ξ

H 4 ξ = 16 ξ 4 - 48 ξ 2 + 12

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