Um objeto curto e retilíneo, de comprimento L, está no eixo central de um espelho esférico, a uma distância p do espelho. (a) Mostre que a imagem do objeto no espelho tem um comprimento L′ dado por:

L ' = L f p - f 2

(Sugestão: Determine a posição das imagens das duas extremidades do objeto.) (b) Mostre que a ampliação longitudinal m ’ ( = L ’ / L ) é igual a m 2 , em que m é a ampliação lateral.

Passo 1

Opa meus queridos, bora pra mais um probleminha do nosso livro!

Vem comigo que eu vou te explicar passo a passo!

a)

Primeiramente suponha que uma extremidade do objeto está a uma distância p do espelho e a outra extremidade está a uma distância p + L .

A distância da imagem i 1 é da primeira extremidade é dada por:

1 p + 1 i 1 = 1 f

Em que f é a distância focal do espelho, assim isolando o termo que i 1 , temos:

i 1 = f p ( p - f )

Agora para a imagem 2, temos a seguinte relação:

i 2 = f ( p + L ) p + L - f

Assim, a gente tem que o comprimento da imagem é dado por: L ' = i 1 - i 2 .

L ' = i 1 - i 2

= f p ( p - f ) - f ( p + L ) p + L - f

= f 2 L p - f p + L - f

Dessa forma, como o objeto é muito curto em comparação com p - f , podemos desprezar L   do denominador, assim ficamos com:

L ' = L f p - f 2

Assim obtemos a mesma equação do enunciado!

Passo 2

Agora iremos achar a posição da imagem já que a gente já tem o foco.

1 f = 1 p + 1 i

Substituindo os valores...

1 12 = 1 10 + 1 i

1 i = 1 1 2 - 1 10

1 i = 1 0 - 12 1 20

1 i = - 120 2 = - 60   c m

Passo 3

b)

A ampliação longitudinal é:

m ’ = L ' L = f p - f 2

Nosso objetivo é mostrar que isso é igual a m 2 , onde:

m = h ' h = - i p

Substituindo i = f p p - f , temos:

m = - f p p - f p = - f p - f

Elevando a equação ao quadrado, temos:

m 2 = f p - f 2

E a partir disso, provamos que:

m ' = m 2

Tudo show? Te vejo na próxima!

Resposta

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