Um objeto pontual está a 10 cm de distância de um espelho plano, e o olho de um observador (cuja pupila tem 5,0 mm de diâmetro) está a 20 cm de distância. Supondo que o olho e o objeto estão na mesma reta perpendicular à superfície do espelho, determine a área do espelho envolvida na observação do reflexo do ponto.

Passo 1

Opaa, tranquilo? Vamos para mais uma questão de formação de imagens em espelhos planos.

A figura abaixo exemplifica o que está acontecendo no problema.

Note que em cada lado existem dois raios que chamaremos de r e r ’ , que estão localizados acima e abaixo do raio normal. Os dois raios têm também o mesmo ângulo de incidência θ.

Iremos supor que os dois raios atingem a extremidade superior e a extremidade inferior da pupila depois de seres refletidos. Se r atinge o espelho no ponto A e o raio r ’ atinge o espelho no ponto B, a distância x entre A e B é dada por:

x = 2 d 0 t a n θ

Onde d 0 é a distância do espelho ao objeto.

Passo 2

Note que podemos construir um triângulo tomando como um dos vértices a imagem do objeto (o ponto I da imagem do passo 1), situado a uma distância d 0 atrás do espelho.

Um cateto do triângulo coincide com o raio normal (que liga o ponto I ao centro da pupila), e a hipotenusa coincide com o raio r (depois de refletido). E a distância entre a pupila e o olho é dada pela seguinte relação d o l h o +   d 0 , onde o menor ângulo do triangulo é dado por θ!

t a n θ =   R d o l h o +   d 0

Onde R é o raio da pupila que pelo enunciado vale 2,5   m m . Assim, juntando com a formula anterior temos:

x = 2 d 0   R d o l h o +   d 0

Substituindo os valores:

x = 2 ( 100   m m )   2,5   m m 300   m m +   100   m m

x = 1,67   m m

Passo 3

Calmaaa que ainda não acabou!

O valor de x é o diâmetro de uma área circular A do espelho tal que todos os raios refletidos em pontos dessa área chegam ao olho. Assim, a área abrangida será de:

A = π x 2 2 =     π 4 1,67   m m 2

A = 2,2   m m 2

Resposta

A = 2,2   m m 2