Um objeto e uma tela se encontram a uma distância fixa D. (a) Mostre que uma lente convergente, de comprimento focal f, colocada entre o objeto e a tela, forma uma imagem real do objeto na tela para duas posições da lente separadas por uma distância d = D D - 4 f . (b) Mostre que a razão entre os tamanhos das imagens obtidas com a lente nas duas posições é dada por

D - d D + d 2 .

Passo 1

Opaa, tranquilo? Vamos para mais uma questão do nosso famoso Halliday!

Nesse problema, vamos posicionar a lente a uma distância x do objeto e uma distância D - x do anteparo, de modo que:

p = x   i = D - x

Seguindo a notação do livro em que p representa a posição do objeto e   i a posição da imagem, de posso dessas informações usaremos a expressão:

1 p + 1 i = 1 f

Logo,

1 x + 1 D - x = 1 f

Fazendo o mmc do lado esquerdo, temos:

D - x + x x ( D - x ) = 1 f

D f = x D - x 2

x 2 - D x + f D = 0

Resolvendo a equação do segundo grau:

x = D ± D 2 - 4 f D 2

Temos duas soluções:

x - = D - D ( D - 4 f ) 2

x + = D + D ( D - 4 f ) 2

A distância das lentes é dada por:

d = x + - x -

Assim:

d = D + D ( D - 4 f ) 2 - D - D ( D - 4 f ) 2

d = D ( D - 4 f )

Passo 2

b) A proporção dos tamanhos da imagem é a mesma proporção das ampliações laterais. Se o objeto estiver em p = x 1 a magnitude da ampliação é:

| m 1 |   = i 1 p 1 = D - x 1 x 1    

Nesse caso, x 1 = 1 2 ( D - d ) , quando d = D ( D - f ) , temos:

m 1 = D - 1 2 D - d 1 2 D - d = D + d D - d  

Similarmente para x 2 :

| m 2 |   = i 2 p 2 = D - x 2 x 2    

m 2 = D - 1 2 D - d 1 2 D - d = D + d D - d  

Logo a proporção das ampliações é:

m 2 m 1 = D - d D + d   D + d D - d  

m 2 m 1 = D - d D + d 2

Resposta

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