Enunciado

Obtenha as equações 2.167 e 2.168 . Dica: use as equações 2.165 e 2.166 para resolver C e D em termos de F :

C = sen ⁡ l a + i k l cos ⁡ ( l a ) e i k a   F   ;     D = cos ⁡ l a - i k l sen ⁡ ( l a ) e i k a   F

Passo 1

Fala aí, beleza? Nessa questão vamos apenas resolver um sistema linear de duas variáveis para C e D e, então, para B e A em temos de F . O sistema consiste nas equações fornecidas pelo enunciado, que são:

C sen ⁡ l a + D cos ⁡ l a = F   e i k a l C cos ⁡ l a - D sen ⁡ ( l a ) = i k   F e i k a

Passo 2

Para resolver para C , vamos multiplicar a primeira equação por sen ⁡ l a , a segunda por cos ⁡ l a / l e, então, somar as duas. Assim, obtemos:

C sen 2 ⁡ l a + cos 2 ⁡ l a = sen ⁡ l a + i k l cos ⁡ ( l a ) F e i k a  

Ou seja:

C = sen ⁡ l a + i k l cos ⁡ ( l a ) e i k a   F

Enquanto isso, para determinar B , multiplicamos a primeira equação por cos ⁡ ( l a ) e a segunda por - sen ⁡ l a / l   e somamos. Assim, ficamos com:

D   sen 2 ⁡ l a + cos 2 ⁡ l a = cos ⁡ l a - i k l sen ⁡ ( l a ) F e i k a  

Que fica, por fim:

D = cos ⁡ l a - i k l sen ⁡ ( l a ) F e i k a  

Passo 3

Dessa maneira, as equações 2.162 e 2.163 se tornam:

A e - i k a + B e i k a = cos ⁡ 2 l a - i k l sen ⁡ 2 l a F e i k a A e - i k a - B e i k a = cos ⁡ 2 l a - i l k sen ⁡ 2 l a F e i k a

Somando as duas, chegamos em A :

A = cos ⁡ 2 l a - i 2 k l + l k sen ⁡ ( 2 l a ) F e 2 i k a

Reescrevendo isolando F :

F = A e - 2 i k a cos ⁡ 2 l a - i k 2 + l 2 2 l k sen ⁡ ( 2 l a )

Agora, subtraindo as duas equações, chegamos em B :

B = i sen ⁡ 2 l a 2 k l l 2 - k 2 F

Assim como sugere o livro!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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