Um oscilador harmônico sem amortecimento ( b = 0 ) , inicialmente em repouso, é submetido, começando em t = 0 , a uma força F 0 s i n ( ω t ) . Determine o deslocamento x ( t ) .

Passo 1

Oiii, tudo certinho?

Temos aqui um oscilador harmônico sem amortecimento que está sujeito à uma força do tipo senoidal. O enunciado nos diz que ele está em repouso, então podemos estabelecer um conjunto de condições iniciais da forma:

x ( t = 0 ) = 0   e   x ˙ ( t = 0 ) = 0           ( 1 )

Note que a escolha da posição inicial é simplesmente uma escolha de referencial. Para resolver esta questão devemos analisar a equação diferencial formada analisando a segunda lei de Newton, saca só!

m x ¨ ( t ) + k x ( t )   =   F 0 s i n ( ω t ) → x ¨ ( t ) + ω 0 2 x ( t ) = F 0 m s i n ( ω t )           ( 2 )

Isso nos dá uma equação diferencial de segunda ordem não-homogênea. Se resolvermos ela, e aplicarmos as condições iniciais, temos nossa resposta! Bora lá!

Passo 2

Vamos começar resolvendo a parte homogênea, que é:

x ¨ ( t ) + ω 0 2 x ( t ) = 0

Para isso, precisamos escrever um polinômio característico da forma:

r 2 + ω 0 2 = 0 → r ± = ± i ω 0

Nossa solução pode ser escrita então, como:

x h ( t ) = A e i ω 0 t + B e - i ω 0 t           ( 3 )

Por enquanto, é conveniente deixar ela assim. Vamos trabalhar um pouco em nossa solução particular, beleza?

Passo 3

Como temos uma parte não-homogênea da seguinte forma F ( t )   =   F 0 m s i n ( ω t ) , podemos propor uma solução particular com o seguinte formato:

x p ( t )   =   C c o s ( ω t ) + D s i n ( ω t )

E devemos utilizar o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução adequada, belezinha?

Passo 4

Utilizando x p ( t ) na equação (2), temos:

- ω 2 C c o s ( ω t ) - ω 2 D s i n ( ω t ) + ω 0 2 C c o s ( ω t ) + ω 0 2 D s i n ( ω t ) = F 0 m s i n ( ω t )

O método de coeficientes a determinar requer que formemos um sistema linear de equações para estas constantes identificando que os coeficientes do seno do lado esquerdo deve ser igual aos coeficientes do seno do lado direito, o mesmo vale para o cosseno, portanto:

- ω 2 D + ω 0 2 D   =   F 0 m → D   =   F 0 m 1 ( ω 0 2 - ω 2 )           ( 4 )

e

- ω 2 C + ω 0 2 C   =   0 → C = 0           ( 5 )

Agora só precisamos escrever nossa solução, belezinha?

Passo 5

Aplicando na expressão para x p ( t ) , temos:

x p ( t )   =   F 0 m 1 ( ω 0 2 - ω 2 ) s i n ( ω t )           ( 6 )

a nossa solução então tem a forma:

x ( t )   =   x h ( t ) + x p ( t )   =   A e - i ω 0 t + B e i ω 0 t + F 0 m 1 ( ω 0 2 - ω 2 ) s i n ( ω t )           ( 7 )

Vamos aplicar as condições iniciais (1) e reescrever um pouco essa equação, e acabou este problema, beleza?

Passo 6

Temos:

0   =   A + B   → A   =   - B         ( 8 )

e

x ˙ ( t )   =   - i ω 0 A e - i ω 0 t + i ω 0 B e i ω 0 t + F 0 m ω ( ω 0 2 - ω 2 ) c o s ( ω t )

portanto,

0   =   - i ω 0 A + i ω 0 B + F 0 m ω ( ω 0 2 - ω 2 )           ( 9 )

Vamos resolver este sistema linear!

Passo 7

Com a condição (8), temos a equação (9) como:

0   =   i ω 0 B + i ω 0 B + F 0 m ω ( ω 0 2 - ω 2 ) → B   =   - F 0 2 i ω 0 m ω ( ω 0 2 - ω 2 )

e portanto:

A   = F 0 2 i ω 0 m ω ( ω 0 2 - ω 2 )  

A nossa solução toma então a forma:

x ( t ) = F 0 2 i ω 0 m ω ( ω 0 2 - ω 2 ) e - i ω 0 t - F 0 2 i ω 0 m ω ( ω 0 2 - ω 2 ) e i ω 0 t + F 0 m 1 ( ω 0 2 - ω 2 ) s i n ( ω t ) →  

→ x ( t )   = F 0 2 i ω 0 m ω ( ω 0 2 - ω 2 ) ( e - ω 0 t - e i ω 0 t ) + F 0 m 1 ( ω 0 2 - ω 2 ) s i n ( ω t )  

Aplicando a fórmula de Euler e i x = c o s ( x ) + i s i n ( x ) , temos:

x ( t )   = F 0 m ω 0 ( ω - ω 0 ) - 1 ( ω 0 s i n ( ω t ) - ω s i n ( ω 0 t ) )  

Ta aí, a questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

x ( t )   = F 0 m ω 0 ( ω - ω 0 ) - 1 ( ω 0 s i n ( ω t ) - ω s i n ( ω 0 t ) )