Um oscilador harmônico, sem amortecimento, de massa m , frequência natural ω 0 , está inicialmente em repouso e é submetido em t = 0 a uma impulsão de forma a partir de x 0 = 0 com velocidade inicial v 0 e a oscilar livremente até t   =   3 π / 2 ω 0 . A partir deste tempo, uma força F   =   B c o s ( ω t + θ ) é aplicada. Determine seu deslocamento.

Passo 1

Fala aew! Tudo certo?

Este problema está dividido em duas partes, inicialmente temos um oscilador harmônico usual sem forças externas nem amortecimento. A solução desta parte foi discutida com mais detalhes em outros exercícios deste capítulo, portanto, vamos focar na segunda parte. Mas é interessante aplicarmos nós mesmos as condições iniciais! A solução do oscilador harmônico na primeira parte é tal que:

x I ( t )   =   C 1 c o s ( ω 0 t )   + C 2 s i n ( ω 0 t )           ( 1 )  

O enunciado nos dá condições iniciais para esta parte do movimento, como:

x I ( t = 0 ) = 0   e   x ˙ I ( t = 0 )   =   v 0           ( 2 )

A segunda parte no entanto se inicia após um instante de tempo t = 3 π / 2 ω 0 , em que a força começa a ser aplicada. Temos a construção usual de um oscilador harmônico forçado , ou seja:

x ¨ I I ( t )   + ω 0 2 x I I ( t )   =   B m c o s ( ω t + θ )           ( 3 )

Aqui temos uma equação diferencial de segunda ordem não-homogênea, a solução da parte homogênea tem a mesma forma funcional que a equação (1) e, precisamos de uma solução particular de forma que a solução geral tome a forma:

x I I ( t )   =   x h ( t ) + x p ( t )           ( 4 )

E para encontrar nossa solução específica para este problema, vamos precisar aplicar “condições iniciais” para a segunda parte, note que ela não começa em t = 0 , e sim em t   =   3 π / 2 ω 0 , portanto:

x I I ( t = 3 π / 2 ω 0 )   =   x I ( t = 3 π / ω 0 )   e   x ˙ I I ( t = 0 ) = x ˙ I ( t =   3 π / 2 ω 0 )           ( 5 )

Vamos começar este problema aplicando as condições iniciais (2) em (1), belezinha?

Passo 2

Aplicando as condições iniciais (2) em (1), temos:

x I ( t = 0 ) = 0 = C 1 → C 1 = 0           ( 6 )

Derivando a função x I ( t ) , temos:

x ˙ I ( t )   = - ω 0 C 1 s i n ( ω 0 t ) +   ω 0 C 2 c o s ( ω 0 t )

Portanto, aplicando as condições iniciais e utilizando (6), temos:

x ˙ I ( t = 0 ) = v 0 = ω 0 C 2 → C 2 = v 0 ω 0           ( 7 )

E desta forma a solução de nosso oscilador harmônico é da forma:

x I ( t )   =   v 0 ω 0 s i n ( ω 0 t )           ( 8 )

Belezinha, vamos começar a trabalhar na próxima parte agora, beleza?

Passo 3

Como disse no passo 1, temos que a forma da solução para a parte homogênea da equação diferencial (3) tem a mesma forma funcional que a equação (1), portanto:

x h ( t )   =   C 1 c o s ( ω 0 t ) + C 2 s i n ( ω 0 t )           ( 9 )

Mas agora precisamos aplicar as condições iniciais (5) para encontrar as constantes C 1   e   C 2 , no entanto temos que encontrar a solução particular x p ( t ) primeiro, vamos aplicar aqui o método dos coeficientes a determinar, beleza?

Passo 4

Podemos escolher o seguinte formato para a nossa solução particular:

x p ( t )   =   C 3 c o s ( ω t + θ ) + C 4 s i n ( ω t + θ )           ( 10 )

Vamos calcular a primeira e segunda derivadas, temos:

x ˙ p ( t )   =   - ω C 3 s i n ( ω t + θ ) + ω C 4 c o s ( ω t + θ )           ( 11 )

x ¨ p ( t )   =   - ω 2 C 3 c o s ( ω t + θ ) - ω 2 C 4 s i n ( ω t + θ )           ( 12 )

Vamos aplicar (10) e (12) na equação diferencial (3) para encontrarmos nosso sistema linear e assim determinar os parâmetros C 3 e C 4 .

Passo 5

Temos o seguinte:

- ω 2 C 3 c o s ( ω t + θ ) - ω 2 C 4 s i n ( ω t + θ )   →

→ + ω 0 2 [ C 3 c o s ( ω t + θ ) + C 4 s i n ( ω t + θ ) ]   =   B m c o s ( ω t + θ )

Identificando os coeficientes do seno e do cosseno, podemos escrever duas equações:

- ω 2 C 3 + ω 0 2 C 3 = B m → C 3 = B m 1 ( ω 0 2 - ω 2 )           ( 13 )

e também temos que:

- ω 2 C 4 + ω 0 2 C 4 = 0 → C 4 = 0           ( 14 )

Usando (13) e (14) na equação (10), temos então que:

x p ( t )   =   B m 1 ( ω 0 2 - ω 2 ) c o s ( ω t + θ )           ( 15 )

Finalmente, podemos escrever a nossa solução geral para a segunda parte! Vamos lá!

Passo 6

Usando (15) e (9) em (4), temos:

x I I ( t )   =   C 1 c o s ( ω 0 t ) + C 2 s i n ( ω 0 t )   + B m 1 ( ω 0 2 - ω 2 ) c o s ( ω t + θ )           ( 16 )

Precisamos apenas aplicar as condições iniciais (5) para encontrar as constantes C 1 e C 2 , vamos lá!

x I I ( t = 3 π / 2 ω 0 )   =   x I ( t = 3 π / 2 ω 0 )   = v 0 ω 0 s i n ( ω 0 × 3 π 2 ω 0 ) = v 0 ω 0 s i n ( 3 π   2 ) = - v 0 ω 0           ( 17 )

e também

x ˙ I I ( t = 3 π / 2 ω 0 )   = x ˙ I ( t = 3 π / 2 ω 0 ) = v 0 c o s ( ω 0 × 3 π / 2 ω 0 ) = v 0 c o s ( 3 π / 2 ) = 0         ( 18 )    

Agora temos que (17) e (18), são as nossas condições iniciais, vamos aplicá-las na equação (16).

Passo 7

Usando (17) e (18) em (16), temos:

x I I ( t = 3 π / 2 ω 0 )   = - v 0 ω 0 =   C 1 c o s ( 3 π / 2 ) + C 2 s i n ( 3 π / 2 )   + B m 1 ( ω 0 2 - ω 2 ) c o s ( α ) →

→ C 2 = v 0 ω 0 + B m 1 ( ω 0 2 - ω 2 ) c o s ( α )           ( 19 )

em que chamei α = 3 π 2 ω ω 0 + θ . Agora vamos calcular a derivada! Temos

x ˙ I I ( t = 3 π / 2 ω 0 ) = 0   =   - ω 0 C 1 s i n ( 3 π / 2 ) + ω 0 C 2 c o s ( 3 π / 2 )   - B m ω ( ω 0 2 - ω 2 ) s i n ( α ) →

→ C 1   =   B m ω ω 0 1 ( ω 0 2 - ω 2 ) s i n ( α )           ( 20 )

Aplicando (19) e (20) em (16), temos finalmente que:

x I I ( t )   =   B m ω ω 0 1 ( ω 0 2 - ω 2 ) s i n ( α ) c o s ( ω 0 t ) + →

→ + [ v 0 ω 0 + B m 1 ( ω 0 2 - ω 2 ) c o s ( α ) ]   s i n ( ω 0 t )   + B m 1 ( ω 0 2 - ω 2 ) c o s ( ω t + θ )

Colocando algumas coisinhas em evidência temos que:

x I I ( t ) = B m 1 ( ω 0 2 - ω 2 ) [ c o s ( ω t + θ ) + c o s ( α ) s i n ( ω 0 t ) + ω ω 0 s i n ( α ) c o s ( ω 0 t ) ] + v 0 ω 0 s i n ( ω 0 t )  

Esse é o deslocamento para t > 3 π / 2 ω 0 . A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

No passo 2 e passo 7.