Um oscilador harmônico, sem amortecimento, de massa , frequência natural , está inicialmente em repouso e é submetido em a uma impulsão de forma a partir de com velocidade inicial e a oscilar livremente até . A partir deste tempo, uma força é aplicada. Determine seu deslocamento.
Passo 1
Fala aew! Tudo certo?
Este problema está dividido em duas partes, inicialmente temos um oscilador harmônico usual sem forças externas nem amortecimento. A solução desta parte foi discutida com mais detalhes em outros exercícios deste capítulo, portanto, vamos focar na segunda parte. Mas é interessante aplicarmos nós mesmos as condições iniciais! A solução do oscilador harmônico na primeira parte é tal que:
O enunciado nos dá condições iniciais para esta parte do movimento, como:
A segunda parte no entanto se inicia após um instante de tempo , em que a força começa a ser aplicada. Temos a construção usual de um oscilador harmônico forçado , ou seja:
Aqui temos uma equação diferencial de segunda ordem não-homogênea, a solução da parte homogênea tem a mesma forma funcional que a equação (1) e, precisamos de uma solução particular de forma que a solução geral tome a forma:
E para encontrar nossa solução específica para este problema, vamos precisar aplicar “condições iniciais” para a segunda parte, note que ela não começa em , e sim em , portanto:
Vamos começar este problema aplicando as condições iniciais (2) em (1), belezinha?
Passo 2
Aplicando as condições iniciais (2) em (1), temos:
Derivando a função , temos:
Portanto, aplicando as condições iniciais e utilizando (6), temos:
E desta forma a solução de nosso oscilador harmônico é da forma:
Belezinha, vamos começar a trabalhar na próxima parte agora, beleza?
Passo 3
Como disse no passo 1, temos que a forma da solução para a parte homogênea da equação diferencial (3) tem a mesma forma funcional que a equação (1), portanto:
Mas agora precisamos aplicar as condições iniciais (5) para encontrar as constantes , no entanto temos que encontrar a solução particular primeiro, vamos aplicar aqui o método dos coeficientes a determinar, beleza?
Passo 4
Podemos escolher o seguinte formato para a nossa solução particular:
Vamos calcular a primeira e segunda derivadas, temos:
Vamos aplicar (10) e (12) na equação diferencial (3) para encontrarmos nosso sistema linear e assim determinar os parâmetros e .
Passo 5
Temos o seguinte:
Identificando os coeficientes do seno e do cosseno, podemos escrever duas equações:
e também temos que:
Usando (13) e (14) na equação (10), temos então que:
Finalmente, podemos escrever a nossa solução geral para a segunda parte! Vamos lá!
Passo 6
Usando (15) e (9) em (4), temos:
Precisamos apenas aplicar as condições iniciais (5) para encontrar as constantes e , vamos lá!
e também
Agora temos que (17) e (18), são as nossas condições iniciais, vamos aplicá-las na equação (16).
Passo 7
Usando (17) e (18) em (16), temos:
em que chamei . Agora vamos calcular a derivada! Temos
Aplicando (19) e (20) em (16), temos finalmente que:
Colocando algumas coisinhas em evidência temos que:
Esse é o deslocamento para . A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!
Resposta
No passo 2 e passo 7.