Um oscilador harmônico não amortecido de massa m, frequência natural ω 0 ,, está inicialmente em repouso e está sujeito em t=0 a um golpe de modo que parte de x 0 = 0 com velocidade inicial v 0 e oscila livremente até   t = 3 π / 2 ω 0 . A partir deste momento, uma força F = B c o s ⁡ ( ω t + θ ) é aplicada. Encontre o movimento.

Passo 1

(i) objeto começando em x 0 = 0 e chegando no máximo peso

v ( 0 ) = v 0 V 4 = 0   t 0 = 0 t 4 = L 0 m d d t = - m g - b v 2 - m d v b d = m g b + v 2

d v m g b + v 2 = - b m d t ∫ v 0 m a b + v 2   d v t 0 t o - b m d t

b m a t a n - b m a v 0 0 = - b r n + 0 t 0 - D 2 m a + e - 1 D m v = - b 0 r r - 0 m b 2 t a n - ⁡ 5 m g v 0 = c o 0 tempo para máx × m b a tan - 1 ⁡ l x + g V = p a r a ⁡ t   { 0 < t < t o }

v = m g b t a n ⁡ b m m ( t o - t )

∫ 0 x   d x = ∫ 0 t   m e b t a n ⁡ b a m ( t a n ⁡ t ) d t

x = m b l n ⁡ c o s ⁡ b s m ( t a n - ) t

= m b l n ⁡ c o s ⁡ b a m t 0 t - l n ⁡ c o s ⁡ b m m 0 = m b - l n ⁡ 1 + b b 2 m - 1 + l n ⁡ c o s ⁡ k m m t 0 t x = m 2 b l n ⁡ 1 + b w 2 m a + 2 l n ⁡ c o s ⁡ b a m t 0 - t

= b m g ∫ s e c 2 ⁡ e d θ 1 + t a n 2 ⁡ e   V = m a b t a n ⁡ θ = b m g θ + c v = s i n z t a n ⁡ θ = b m g t a n g - 1 ⁡ 12 w V + C

m a b ∫ t a n ⁡ b g m t 0 t d t = - m b t a n ⁡ u d u

μ = b g m g ( c o s ⁡ t )

d μ = - b g m ± t

c o s ⁡ c o s m + ∞ = c o s ⁡ π m m b t a n - 1 ⁡ b m 2

= c o s ⁡ tan - 1 ⁡ π m g v 0

= c o s ⁡ θ

= 1 + b v 0 e 2 m g - 1

Passo 2

ii) para t > t 0 , v 0 = 0

m d v d t = - m a + b v 2 m d v b d t d = - m g b + v 2 d v m g b - v 2 = - b r n d t

∫ 0 v   d v m a b - v 2 = ∫ t 0 t   - b m d t b m g t a n h ⁡ b m g v = - b m t m + 10 t a r h - 1 ⁡ m n g v = - b g m ( t - 1 ) V = m g b + t a n ⁡ - b g 2 m ( t - t o )

= - m a b + t a n ⁡ m a m ( t - t o )

∫ x h x   d x = - m m 2 b ∫ t o t   t a n h ⁡ b a m a n ( t - t ) d t

x - x n = - m b l n ⁡ c o s h ⁡ b a m t - t 0 t 0 t

x = x n - m b l n ⁡ c o s h ⁡ b a m t - t 0

x h = x t - t 0

= m 2 m l n ⁡ 1 + b v 0 2 m g

x = m 2 b l n ⁡ 1 + b v 2 m g - m b l n ⁡ c o s h ⁡ m t - t 0

∫ d v m i b - v 2 = b m n a b ∫ s e c h 2 ⁡ u d μ 1 + t a n h 2 ⁡ d u

v 2 = m g b t a n h ⁡   2 m = b m g ∫ d x V = m g b t a n ⁡ a d V = m g b s e c ⁡ k 2 + d μ = b w g μ + C

= b w a t a n - 1 5 x + 2 V + C

∫ t a n ⁡ l m m ( t + ∞ ) d t = m b g t a n h ⁡ μ d e r μ = b g m ( t - t ) d μ = b m m d t = m b g ∫ s i n h ⁡ μ d μ c o s h ⁡ μ m b g d μ = d t b m b a l n c o s u + c

Resposta

x = m 2 b l n ⁡ 1 + b v 2 m g - m b l n ⁡ c o s h ⁡ m t - t 0