Um oscilador harmônico subamortecido é submetido à ação de uma força aplicada

F   =   F 0 e - a t c o s ( ω t + θ )

Determine uma solução particular expressando F como parte real de uma função exponencial complexa e procurando uma solução para x que tenha a mesma dependência exponencial do tempo.

Passo 1

Eaew, belezinha? Bora tentar resolver juntos mais um probleminha de leves!

Se eu considerar a parte real de uma função complexa da seguinte maneira:

F ( t )   =   R e ( F 0 c e ( - a + i ω ) t )           ( 1 )

em que F 0 c = F 0 e i θ . Como este é um oscilador harmônico subamortecido, ele respeita a seguinte equação diferencial:

x ¨ ( t )   + b m x ˙ ( t ) + ω 0 2 x ( t ) = 1 m F ( t )           ( 2 )  

Como o foco do problema não é esse, vale a pena relembrar aqui a solução da parte homogênea apenas por completeza, beleza?

x h ( t )   =   e - γ t [ x 0 c o s ( ω 0 t ) + v 0 ω 0 s i n ( ω 0 t ) ]

Em que γ =   b / 2 m , e como o amortecimento é subcrítico, temos que γ 2 < ω 0 2 . Vamos tentar encontrar a nossa solução particular então, belezinha? Como achar a solução homogênea acima pode ser checado em outros exercícios aqui no site, beleza?

Passo 2

Vamos utilizar o método de coeficientes a determinar, mas cheque só, a nossa função é a parte real de uma função completa dada pela equação (1). Vamos propor um sistema que seja complexo, ou seja:

x ¨ ( t )   + b m x ˙ ( t ) + ω 0 2 x ( t ) = F 0 e i θ e ( - a + i ω ) t           ( 3 )

A solução particular conveniente a ser escolhida é da forma exponencial:

x p ( t ) = A e ( - a + i ω ) t

Vamos calcular as derivadas e aplicar o método!

Passo 3

A primeira derivada é:

x ˙ p ( t )   =   A ( - a + i ω ) e ( - a + i ω ) t

Agora para a segunda derivada, temos:

x ¨ p ( t )   =   A ( - a + i ω ) 2 e ( - a + i ω ) t

Vamos aplicar ambas na nossa equação diferencial dada pela equação (3), temos:

  A ( - a + i ω ) 2 e ( - a + i ω ) t + 2 γ A ( - a + i ω ) e ( - a + i ω ) t + ω 0 2 A e ( - a + i ω ) t = F 0 e i θ e ( - a + i ω ) t           ( 3 )

Esta expressão nos permite identificar quem é nossa constante complexa A , saca só!

Passo 4

Identificando os termos multiplicando as exponenciais, temos:

A ( - a + i ω ) 2 + 2 γ A ( - a + i ω ) + ω 0 2 A = F 0 e i θ

Portanto,

A   =   F 0 e i θ [ ( i ω - a ) ( 2 γ + i ω - a ) + ω 0 2 ]

E a solução complexa particular toma então a forma:

x p ( t ) = F 0 e i θ [ ( i ω - a ) ( 2 γ + i ω - a ) + ω 0 2 ] e ( - a + i ω ) t

Vamos pegar a parte real desta expressão agora, beleza? Pois é ela que está relacionada à nossa solução original!

Passo 5

Vamos primeiro, utilizar a equação de Euler e i x = c o s ( x ) + i s i n ( x ) , e também expandir alguns produtos, beleza?

x p ( t ) = F 0 e i θ [ ( i ω - a ) ( 2 γ + i ω - a ) + ω 0 2 ] e ( - a + i ω ) t = F 0 e - a t 2 i ( γ - a ω ) - ω 2 - 2 a γ + a 2 + ω 0 2 e i ( ω t + θ ) →

→ F 0 e - a t 2 i ω ( γ - a ) - ω 2 - 2 a γ + a 2 + ω 0 2 c o s ( ω t + θ ) + F 0 e - a t 2 i ω ( γ - a ) - ω 2 - 2 a γ + a 2 + ω 0 2 i s i n ( ω t + θ )

Vamos trabalhar um pouquinho este denominador, beleza?

Passo 6

Temos a seguinte expressão:

1 2 i ω ( γ - a ) - ω 2 - 2 a γ + a 2 + ω 0 2 = 1 2 i ω ( γ - a ) + ( a 2 + ω 0 2 - 2 a γ - ω 2 )

Vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado, beleza?

( a 2 + ω 0 2 - 2 a γ - ω 2 ) - 2 i ω ( γ - a ) ( a 2 + ω 0 2 - 2 a γ - ω 2 ) - 2 i ω ( γ - a ) × 1 2 i ω ( γ - a ) + ( a 2 + ω 0 2 - 2 a γ - ω 2 ) = ( a 2 + ω 0 2 - 2 a γ - ω 2 ) - 2 i ω ( γ - a ) ( a 2 + ω o 2 - 2 a γ - ω 2 ) 2 + 4 ω 2 ( γ - a ) 2

Agora vai ficar mais fácil identificar a nossa parte real, e a nossa parte complexa, bora lá!

Passo 7

Utilizando o processo que fizemos anteriormente em x p ( t ) , temos:

F 0 e - a t [ ( a 2 + ω 0 2 - 2 a γ - ω 2 ) - 2 i ω ( γ - a ) ( a 2 + ω o 2 - 2 a γ - ω 2 ) 2 + 4 ω 2 ( γ - a ) 2 c o s ( ω t + θ ) + ( a 2 + ω 0 2 - 2 a γ - ω 2 ) - 2 i ω ( γ - a ) ( a 2 + ω o 2 - 2 a γ - ω 2 ) 2 + 4 ω 2 ( γ - a ) 2 i s i n ( ω t + θ ) ]

Evidenciando o denominador, já que ele é real, temos:

F 0 e - a t ( a 2 + ω o 2 - 2 a γ - ω 2 ) 2 + 4 ω 2 ( γ - a ) 2 [ ( a 2 + ω 0 2 - 2 a γ - ω 2 ) c o s ( ω t + θ ) - 2 i ω ( γ - a ) c o s ( ω t + θ ) + →

→ i ( a 2 + ω 0 2 - 2 a γ - ω 2 ) s i n ( ω t + θ ) + 2 ω ( γ - a ) s i n ( ω t + θ   ) ]

Finalmente, a parte real de x p ( t ) é:

R e [ x p ( t ) ]   = F 0 e - a t ( a 2 + ω o 2 - 2 a γ - ω 2 ) 2 + 4 ω 2 ( γ - a ) 2 [ ( a 2 + ω 0 2 - 2 a γ - ω 2 ) c o s ( ω t + θ ) + 2 ω ( γ - a ) s i n ( ω t + θ   ) ]  

Que é a nossa solução particular! Te vejo na próxima!! Tchauzinho!

Resposta

x p ( t )   = F 0 e - a t ( a 2 + ω o 2 - 2 a γ - ω 2 ) 2 + 4 ω 2 ( γ - a ) 2 [ ( a 2 + ω 0 2 - 2 a γ - ω 2 ) c o s ( ω t + θ ) + 2 ω ( γ - a ) s i n ( ω t + θ   ) ]