Um oscilador harmônico subamortecido é submetido à ação de uma força aplicada
Determine uma solução particular expressando como parte real de uma função exponencial complexa e procurando uma solução para que tenha a mesma dependência exponencial do tempo.
Passo 1
Eaew, belezinha? Bora tentar resolver juntos mais um probleminha de leves!
Se eu considerar a parte real de uma função complexa da seguinte maneira:
em que . Como este é um oscilador harmônico subamortecido, ele respeita a seguinte equação diferencial:
Como o foco do problema não é esse, vale a pena relembrar aqui a solução da parte homogênea apenas por completeza, beleza?
Em que , e como o amortecimento é subcrítico, temos que . Vamos tentar encontrar a nossa solução particular então, belezinha? Como achar a solução homogênea acima pode ser checado em outros exercícios aqui no site, beleza?
Passo 2
Vamos utilizar o método de coeficientes a determinar, mas cheque só, a nossa função é a parte real de uma função completa dada pela equação (1). Vamos propor um sistema que seja complexo, ou seja:
A solução particular conveniente a ser escolhida é da forma exponencial:
Vamos calcular as derivadas e aplicar o método!
Passo 3
A primeira derivada é:
Agora para a segunda derivada, temos:
Vamos aplicar ambas na nossa equação diferencial dada pela equação (3), temos:
Esta expressão nos permite identificar quem é nossa constante complexa , saca só!
Passo 4
Identificando os termos multiplicando as exponenciais, temos:
Portanto,
E a solução complexa particular toma então a forma:
Vamos pegar a parte real desta expressão agora, beleza? Pois é ela que está relacionada à nossa solução original!
Passo 5
Vamos primeiro, utilizar a equação de Euler , e também expandir alguns produtos, beleza?
Vamos trabalhar um pouquinho este denominador, beleza?
Passo 6
Temos a seguinte expressão:
Vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado, beleza?
Agora vai ficar mais fácil identificar a nossa parte real, e a nossa parte complexa, bora lá!
Passo 7
Utilizando o processo que fizemos anteriormente em , temos:
Evidenciando o denominador, já que ele é real, temos:
Finalmente, a parte real de é:
Que é a nossa solução particular! Te vejo na próxima!! Tchauzinho!