Enunciado

O parâmetro x é a posição de uma partícula, é o valor esperado de x, e P (x) é a função de densidade de probabilidade. O valor esperado de x pode ser igual a um valor de x para o qual P (x) é zero? Se sim, dê um exemplo específico. Se não, explique por que não.

Passo 1

O valor esperado de x é:

x = ∫ - ∞ + ∞ x ψ 2 x d x

Agora, imagine uma partícula em uma caixa unidimensional de comprimento L que está no eixo x no intervalo 0 < x < L . A função de onda para uma partícula no estado n = 2 (o estado mais baixo acima do estado do base) é dada por:

ψ 2 = 2 L s e n 2 π x L

ψ 2 2 = 2 L s e n 2 2 π x L

Assim:

x = ∫ 0 L x 2 L s e n 2 2 π x L d x

x = 2 L ∫ 0 L x s e n 2 2 π x L d x

Primeiro, vamos fazer a substituição θ = 2 π x L → d θ d x = 2 π x L e x = L θ 2 π :

x = 2 L ∫ 0 2 π L 2 π θ s e n 2 θ L 2 π d θ

x = 2 L L 2 π 2 ∫ 0 2 π θ s e n 2 θ d θ

x = L 2 π 2 ∫ 0 2 π θ s e n 2 θ d θ

A tabela das integrais do livro tem o resultado dessa integral:

x = L 2 π 2 θ 2 4 - θ s e n 2 θ 4 - cos ⁡ 2 θ 8 0 2 π

x = L 2 π 2 4 π 2 4 - 2 π s e n 4 π 4 - cos ⁡ 4 π 8 - 0 2 4 + 0 s e n 0 4 + cos ⁡ 0 8

x = L 2 π 2 π 2 - 2 π ( 0 ) 4 - 1 8 + 1 8

x = L 2 π 2 π 2 = L 2

O valor esperado de x é L 2 e, olhando o gráfico de ψ 2 2 :

Vemos que P L 2 = 0 , pois ψ 2 2 = 0 .

Resposta

Sim.

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