Enunciado

8. Uma partícula se encontra confinada numa caixa com paredes impenetráveis de largura a , em uma dimensão. Para t = 0 , ela se encontra, com certeza, na metade direita da caixa, havendo igual probabilidade de ser encontrada em qualquer ponto dessa metade.

( a ) Obtenha uma função de onda inicial que descreve a partícula.

( b ) Qual é a probabilidade de que uma medida da energia, para t = 0 , encontre-a no estado fundamental?

Sugestão: Aplique a Regra II

Passo 1

E vamos para mais um problema! Vem comigo que vai dar tudo certo.

Primeiro para achar a função de onda inicial temos que nos atentar nos detalhes fornecidos pelo enunciado de que em t = 0 a partícula está com toda certeza no lado direito da caixa.

Para que isso aconteça temos que:

∫ 0 a / 2 φ x 2   d x = 0

E

∫ a / 2 a φ x 2   d x = 1

Com isso podemos partir para a montagem da função no intervalo t = 0 .

Agora para achar a probabilidade de encontrar essa partícula no estado E 1 teremos que expandir essa função dessa partícula na base dos autoestados do poço infinito, dados por:

u n x = 2 a sen ⁡ n π x a

Teremos a seguinte expansão:

φ x = ∑ n = 0 c n u n x

A probabilidade do estado fundamental vai ser dada por:

c 1 2

Poderemos encontrar c n da seguinte forma:

c n = ∫ 0 a u n * x φ ( x )   d x

Passo 2

Vamos então encontrar a função que define essa partícula em t = 0 . Temos o seguinte:

∫ 0 a / 2 φ x 2   d x = 0

∫ a / 2 a φ x 2   d x = 1

A primeira integral nos revela que φ = 0 para 0 < x < a / 2 .

Para segunda integral vamos pensar no seguinte, se a partícula pode ser encontrada com igual probabilidade me todo lado direito quer dizer que essa função é uma constante.

Vamos chamá-la de A , então:

∫ a / 2 a A 2   d x = 1

⇒ A 2 a - a 2 = 1

⇒ A 2 a 2 = 1

Então temos que:

A = 2 a

Nossa função de onda fica da seguinte maneira:

φ x = 0   ( 0 < x < a / 2 ) 2 a   ( a / 2 < x < a )

Passo 3

Agora para o item ( b ) temos que encontrar c n , assim:

c n = ∫ 0 a u n * x φ ( x )   d x

= ∫ 0 a / 2 u n * x φ ( x )   d x + ∫ a / 2 a u n * x φ ( x )   d x

= ∫ 0 a / 2 u n * x 0   d x + ∫ a / 2 a u n * x 2 a   d x

= 2 a ∫ a / 2 a u n * x   d x

Agora usando u ( x ) que mostrai no passo 1 , temos:

c n = 2 a ∫ a / 2 a 2 a sen ⁡ n π x a   d x

= 2 a ∫ a / 2 a sen ⁡ n π x a   d x

= 2 a - a cos ⁡ n π x a π n a / 2 a

= 2 a - a cos ⁡ n π π n + a cos ⁡ n π 2 π n

Passo 4

Agora que encontramos uma expressão para c n vamos encontrar c 1 e depois calcular c 1 2 .

Temos:

c 1 = 2 a - a cos ⁡ π π + a cos ⁡ π 2 π

Temos que cos ⁡ ( π ) = - 1 e cos ⁡ π 2 , assim:

c 1 = 2 a a π = 2 π

Então temos que:

c 1 2 = 4 π 2

Essa é a probabilidade da partícula ter a energia do modo fundamental.

Resposta

( a )

φ x = 0   ( 0 < x < a / 2 ) 2 a   ( a / 2 < x < a )

( b )

4 π 2

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