Enunciado

Uma partícula de massa m e energia cinética E>0 se aproxima de uma queda abrupta de potencial V 0 conforme a figura.

a) Qual a probabilidade que ela seja ‘refletida’ se E = V 0 3 ? (Dica: esse problema é exatamente como o 2.34, exceto que o degrau agora desce em vez de subir)

b) Fiz um esboço para que você pense em um carro se aproximando de um penhasco, mas, obviamente, a probabilidade de ‘ser refletido’ da beirada do penhasco é bem menor que a obtida em (a)- a menos que você seja o Pernalonga. Explique por que esse potencial não representa um penhasco com precisão. (Dica: na figura, o potencial de energia do carro diminui descontinuamente para - V 0 conforme passa x=0; isso se aplicaria a um carro em queda livre?

c) Quando um nêutron livre entra em um núcleo, ele passa por uma queda de energia potencial, de V = 0 fora para cerca de -12MeV (milhões de elétron-volts) dentro. Suponha que um nêutron, emitido com energia cinética de 4 MeV por um evento de fissão, atinja tal núcleo. Qual a probabilidade de que ele seja absorvido, estimulando desse modo outra fissão? (Dica: você calculou a probabilidade de reflexão em (a); use T=1-R para obter a probabilidade de transmissão através da superfície.

Passo 1

Letra a

Vamos anotar as informações:

Partícula de massa m; Energia E>0; queda; potencial V 0

Como na questão 2.34, temos:

ψ x = A e i k x + B e - i k x ,     x < 0 F   e i l x   ,                                                       x > 0

Onde temos:

k ≡ 2 m E ℏ ,   l ≡ 2 m ( E + V 0 ) ℏ

Continuidade de ψ → A + B = F

Continuidade de ψ ' → i k ( A - B ) = i l F → k l ( A - B ) =   F

Já conseguimos visualizar a correspondências das equações que descrevem as condições de continuidade do problema, assim obtemos as relações:

A + B = k l   ( A - B ) ;   A   1 - k l = - B   1 + k l ;   B A =   1 - k / l 1 + k / l

Passo 2

a) Para calcular a probabilidade de ser refletida, vamos utilizar a equação 2.138, descrita abaixo:

R =   B A 2

Como já obtivemos a expressão para razão de A e B, é só substituir, assim temos:

R =   B A 2 =   1 - k / l 1 + k / l 2

Passo 3

Como já descrevemos a expressão do k e do l, podemos inserir na equação:

R =     1 - k / l 1 + k / l 2 =   E + V 0 - E E + V 0 + E 2 = 1 + V 0 / E -   1 1 + V 0 / E + 1 2

= 1 + 3 -   1 1 + 3 + 1 2 =   2 -   1 2 + 1 2 = 1 9

Passo 4

Letra b

O penhasco é bidimensional, e mesmo se fingirmos que o carro cai em linha reta para baixo, o potencial, como uma função de distância ao longo do caminho, é (−mgx) (com x a coordenada vertical, pois o carrinho está caindo), sendo assim a função que presenta essa queda é a mostrada abaixo no gráfico:

Passo 5

Letra c

Como já calculamos o R, a probabilidade de a partícula ser transmitida é dada pela diferença entre o máximo valor de probabilidade (1) e a probabilidade de elas serem refletida, como mostrado abaixo:

T = 1 - R =   1 - 1 9 =   8 9

Resposta

Então a probabilidade da partícula ser refletida é de 1 9

E a probabilidade da partícula ser refletida é T = 8 9

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