Enunciado

Uma partícula em um poço quadrado infinito tem a função de onda inicial

Ψ x , 0 = A x , A a - x ,           0 ≤ x ≤ a 2 a 2 ≤ x ≤ a    

  1. Esboce Ψ ( x , 0 ) e determine a constante A .

Passo 1

Fala aí, beleza? Nesse item vamos fazer uma rápida análise dessa função de onda e então montaremos seu gráfico.

Primeiramente, vamos analisar ela no intervalo 0 ≤ x ≤ a 2 .

Nesse intervalo, a função de onda é uma reta crescente que passa pela origem, com coeficiente angular A , sendo seu valor máximo em x = a 2 , valendo:

Ψ a 2 , 0 = A a 2

Agora, para a 2 < x < a , temos uma reta decrescente com coeficiente angular - A , possuindo seu valor máximo também em x = a 2 , valendo:

Ψ a 2 , 0 = A a - a 2 = A a 2

Perceba que essa função é contínua, como deveria ser! Por fim, perceba também que em x = a , a função de onda se anula:

Ψ a , 0 = A a - a = 0

Ou seja, essa função é a união dessas duas funções gera um triângulo isósceles! Isso ocorre, pois a inclinação, em módulo, das duas partes são iguais, assim como o tamanho delas (ambas com a 2 ) no eixo x .

Passo 2

Com as informações obtidas no passo anterior, podemos montar o gráfico de Ψ ( x , 0 ) , como se segue:

Passo 3

A constante de normalização deve ser tal que:

∫ Ψ x , 0 2 d x = 1

Portanto, vem:

A 2 ∫ 0 a 2 x 2   d x + A 2 ∫ a 2 a a - x 2   d x = 1

Abrindo as contas, chegamos em:

A 2 a 3 24 + A 2 a 3 24 = 1 → A = 2   3 a 3  

Resposta

A = 2   3 a 3

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