Enunciado

Um pedaço de rocha com massa de 3,0   k g cai a partir do repouso em um meio viscoso. Sobre a rocha atua uma força resultante de cima para baixo de módulo igual a 18,0   N (uma combinação entre o peso e a força de empuxo exercida pelo meio) e uma força de resistência do fluido f = k v , onde v é a velocidade em m / s e k = 2,20   N   .   s / m . (Veja a Seção 5.3 .)

a) Ache a aceleração inicial a 0 .

b) Ache a aceleração quando a velocidade é de 3,0   m / s .

c) Ache a velocidade quando a aceleração é de 0,1   a 0 .

d) Ache a velocidade terminal v t .

e) Ache a posição, a velocidade e a aceleração 2,0   s depois de o movimento começar.

f) Ache o tempo necessário para que a velocidade seja de 0,9 v t .

Passo 1

No início, o pedaço de rocha parte do repouso, não é? Então, nesse instante ainda não temos força de resistência, pois essa depende da velocidade. Então pela segunda lei:

F = m a

18 = 3 ⋅ a 0

a 0 = 18 3 = 6 m / s 2

Passo 2

Agora a aceleração vai diminuindo, pois temos uma força resistiva. Pela segunda lei:

F - f = m a

Onde F vale 18 N e a força f é a força resistiva f = k v . Como o problema nos pede a aceleração quando a velocidade é 3 m / s , basta substituir ali em cima e determinar o novo a :

18 - 2,2 ⋅ 3 = 3 a

a = 18 - 6,6 3 = 3,8 m / s 2

Passo 3

Usando a mesma equação F - f = m a do item anterior com a = 0,1 a 0 podemos determinar a velocidade:

18 - k v = m ⋅ 0,1 a 0

Dos itens anteriores tiramos os valores que precisamos, agora é só substituir:

18 - 2,2 v = 3 ⋅ 0,1 ⋅ 6

2,2 v = 18 - 1,8

v = 16,2 2,2 = 7,36 m / s

Passo 4

A velocidade terminal é quando a força de resistência se equivale à força resultante que nesse caso vale 18 :

18 = k v t

v t = 18 2,2 = 8,18 m / s

Passo 5

Se você espiar no livro texto, vai ver que lá temos uma fórmula para a velocidade em função do tempo nesse tipo de situação:

v t = v t 1 - e - k m t

Aqui v t = 8,18 m / s , k = 2,2 , m = 3 k g e t = 2 :

v 2 = 8,18 1 - e - 2,2 3 2 = 6,29 m / s

Agora da equação para a posição:

y t = v t t - m k 1 - e - k m t  

E substituindo t = 2 teremos:

y 2 = 8,18 2 - 3 2,2 1 - e - 2,2 3 2 = 7,78 m

Por fim a aceleração:

a t = a 0 e - k m t

E para o instante indicado:

a 2 = 6 e - 2,2 3 2 = 1,68 m / s 2

Todas essas relações são bem deduzidas no livro texto =)

Passo 6

A partir dessa fórmula aqui ó:

v t = v t 1 - e - k m t

Queremos saber o tempo t para que v = 0,9 v t . Substituindo o lado esquerdo da equação teremos:

0,9 v t = v t 1 - e - k m t

0,9 = 1 - e - k m t

e - k m t = 1 - 0,9

e - 2,2 3 t = 0,1

Aplicando o l n dos dois lados:

- 2,2 t 3 = l n 0,1

t = - 3 2,2 ln ⁡ 0,1 = 3,14 s

Beleza? Vamos pra próxima?

Resposta

a )   6 m / s 2

b )   3,8 m / s 2

c )   7,36 m / s

d )   8,18 m / s

e )   6,29 m / s ; 7,78 m ; 1,68 m / s 2

f )   3,14 s

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