Um pendulo composto é montado de forma a oscilar em relação a um dos dois eixos paralelos que passam pelos dois pontos O e O’, localizados sobre uma linha que passa pelo centro de massa. As distâncias h e h’, de O e O’ ao centro de massa, e os períodos τ   e   τ ' , para vibrações de pequenas amplitudes em torno de eixos que passam por O e O’, são medidos. Os pontos O e O’ são escolhidos de forma que cada um deles seja aproximadamente o centro de oscilação em relação ao outro. Se τ = τ ' , ache uma formula para g em termos de grandezas e medidas. Se τ ' = τ   ( 1 + δ ) onde δ ≪ 1 , determine a correção que dever ser somada à fórmula anterior, de maneira a corrigi-la em termos de ordem δ

Passo 1

Vamos dividir a questão em duas partes.

τ = τ '

l = l ' = K o 2 h    

K o 2 = K G 2 + h ²    

τ = τ '

w = g l 1 2

w 2 = g l  

4 π 2 τ 2 = g l

τ 2 = 4 π 2 g K o 2 h      

τ ' = 4 π 2 g K G 2 + h 2 h      

h h ' = K G 2

τ ' = 4 π 2 g h h ' + h h

= 4 π 2 g h ' + h

g = 4 π 2 ( h ' + h ) τ ²

Passo 2

τ ' 2 = 4 π 2 g K G 2 + h ' 2 h '

= 4 π 2 g τ 2 g h 4 π 2 - h 2 + h ' 2 h '

= τ 2 g g h h , - 4 π 2 g h 2 h ' + 4 π 2 g h ' 2 h '  

τ ' 2 = τ 2 1 + δ 2

= τ ² ( 1 + 2 δ )  

τ ' = τ   ( 1 + δ ) δ ≪ 1

l ≠ l '

K o 2 = K G 2 + h 2 ,     K o 2 = K G 2 + h ' 2      

l = K o 2 h ,     l ' = K o 2 ' h '

τ 2 = 4 π 2 g K o 2 h  

= 4 π 2 g K G 2 + h 2 h  

  K G 2 = τ 2 g h 4 π 2 - h 2

τ ' 2 = 4 π 2 g K o 2 ' h '      

τ 2 = 1 + 2 δ h ' = τ 2 g g - 4 π 2 g h 2 - h ' 2

τ 2 1 + 2 δ h ' - h = - 4 π 2 g h + h ' h - h '

g h ' + 2 h ' δ - h = - 4 π 2 τ 2 h + h ' h - h '  

g h ' + 2 h ' δ - g h = - g h - h '

h ' - h + 2 h ' δ = h ' - h

1 + 2 h ' δ h ' - h = 1

1 + 2 h ' δ h ' - h    

Resposta

  1. g = 4 π 2 ( h ' + h ) τ ²
  2. 1 + 2 h ' δ h ' - h