Enunciado

As pernas de um tripé formam ângulos iguais de 90° entre si no vértice, onde elas se juntam. Um bloco de 100 kg está pendurado no vértice. Quais são as forças de compressão sobre as três pernas?

Passo 1

Fala, querido! Temos aqui um tripé que suporta uma carga, e ele quer saber as forças de compressão nas perninhas do tripé. Como assim? Basicamente, o que ele quer são as forças de reação que são produzidas nas pernas do tripé para que a carga não caia no chão.

Vamos fazer um diagrama simples representando a situação:

Nosso objetivo é achar o valor dessas F ' s . Como o nosso sistema está paradinho, podemos usar as equações de equilíbrio

∑ F x = 0

∑ F y = 0

∑ F z = 0

∑ τ = 0

Perceba que como estamos em 3D, também temos equilíbrio na direção z . A ideia aqui é a gente usar essas equações para achar o valor das F ' s em cada perninha do tripé. Vamos!

Passo 2

Antes de aplicar as equações direto, precisamos descobrir a orientação das forças F , e daí a gente consegue achar as componentes de cada força para usar nas equações. As forças estão na direção das pernas tripé.

Então a gente vai achar a orientação dessas perninhas. Queremos descobrir o ângulo que cada uma delas faz com a vertical.

Para ajudar, o enunciado diz que cada perna faz um ângulo de 90 ° com as outras.

Considerando que cada perna tem comprimento L , vemos que isso forma uma espécie de pirâmide no espaço 3D. Cada face dessa pirâmide (formada por cada par de pernas) é um triângulo isósceles desse tipo

O ângulo entre cada perna vai ser o de 90 ° como ele falou. E como as pernas são iguais, os outros ângulos serão de 45 ° . A gente acha essa distância entre os pés fazendo Pitágoras

d ² = L ² + L ²

d = L 2

Com isso a gente tem o comprimento de todas as arestas da pirâmide.

Agora a gente pode partir para achar o ângulo que as pernas fazem com a vertical, que chamamos de α na figura ali.

Repara que nós teremos no solo um triangulo equilátero de lado L 2 . Como esse triângulo tem todos os lados iguais, todos esses segmentos laranjas serão iguais, assim todas as pernas terão a mesma orientação α . Então, o que a gente precisa fazer é achar esse valor c .

Agora um bizu:

Para um triângulo equilátero, o ponto do triângulo que é equidistante dos vértices do triângulo é o centroide desse triângulo. E ele fica localizado a dois terços da altura do triângulo, medido do vértice do triângulo.

Pela nossa figura, isso seria 2 / 3 de b . Então o que a gente precisa é achar b , que é a altura do triângulo. Podemos usar Pitágoras para uma das metades do triângulo.

L 2 2 = 1 2 L 2 2 + b ²

2 L ² = L 2 2 + b ²

b = L 3 2

Logo,

c = 2 3 b = 2 3 L 3 2

Passo 3

A trigonometria está quase acabando! Só falta nós acharmos o ângulo α .

Podemos escrever que

s e n   α = c L

Substituindo c e L :

s e n   α = 2 3 L 3 2 L = 2 3 3 2

α = sen - 1 ⁡ 2 3 3 2 = 54,7 °

Ufaa! Achamos a orientação das perninhas do tripé.

E assim, a orientação das forças! Como vimos que há uma certa simetria, e todas as pernas tem a mesma orientação, todas as forças terão a mesma orientação, e por isso terão módulos iguais.

Podemos dizer que todas tem módulo F c . Cada vetor F c → faz um ângulo de α com vertical. Então para achar as componentes verticais das forças, a gente faz

F c z = F c cos ⁡ α

F c z = F c cos ⁡ 54,7 °

Por que a gente usa cosseno? Porque o ângulo α está coladinho na vertical, então a gente usa cosseno para achar a componente do vetor nesse eixo.

Passo 4

Agora sim a gente pode usar as equações de equilíbrio. Vamos voltar lá no nosso diagrama

Já vimos que porque todas as forças de compressão têm orientações iguais, todas são iguais

F c 1 = F c 2 = F c 3 = F c

Repara que essas reações ocorrem porque há uma força peso. Essa força está na direção do eixo vertical né? O eixo z . E a gente tem a componente z de cada forcinha de compressão

F c z = F c cos ⁡ 54,7 °

Então vamos usar o somatório de forças no eixo z . Nesse eixo temos a força peso par abaixo e as componentes de F c →   para cima. Como temos 3 forcinhas dessa, nós multiplicamos a componente de uma por 3.

Considerando que as forças positivas estão para cima, nosso somatório fica

∑ F z = 0

3 F c z - P = 0

3 F c cos ⁡ 54,7 ° - m g = 0

F c = m g 3 cos ⁡ 54,7 °

Substituindo os dados do problema, lembrando que m é a massa do bloco:

F c = ( 100   k g ) ( 9,81   m / s ² ) 3 cos ⁡ 54,7 ° = 566   N

Resposta

F c = 566   N

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