A posição de um elétron é dada por r = 3,0 t i - 4,0 t 2 j + 2,0 k   (onde t está em segundos e as unidades dos coeficientes são tais que r está em metros). (a) Qual é v(t) para o elétron? (b) Na notação de vetores unitários, qual é v em t = 2,0 s? (c) Quais são o módulo e a direção de v, logo depois?

Passo 1

Fala aí! Para resolver essa aqui, vamos ter que resgatar um conceito bem importante: o vetor velocidade pode ser encontrado pela derivada da posição em relação ao tempo.

v → = d r → d t

Para resolver isso, basta derivarmos cada termo da função individualmente, aí chegaremos no seguinte:

v → ( t ) = d 3 t î - 4 t 2 j ^ + 2 k ^ d t

v → ( t ) = 3 î - 8 t j ^    

Passo 2

Beleza, para encontrar a velocidade em t = 2,0, é só substituirmos o valor na função que encontramos anteriormente. Se liga:

v → 2 = 3 î - 8 ⋅ 2 j ^ = 3 î - 16 j ^   m / s

E para encontrarmos o módulo desse cara, vamos fazer a raiz quadrada da soma das componentes ao quadrado. Olha só:

v → 2 = 3 2 + - 16 2 = 16,3   m / s

Passo 3

Pra finalizar, vamos encontrar um meio de expressar a direção desse cara. Se olharmos pra esse vetor velocidade, perceberemos que ele tem uma componente -16 em y e 3 em x, assim, podemos desenhar um triângulo retângulo cujos catetos valem 16 e 3 e a hipotenusa vale 16,3.

O ângulo oposto ao cateto maior é o ângulo que o vetor velocidade faz com a horizontal. Então, vamos calculá-lo assim:

T g α = - 16 3

α = a r c T g - 16 3

Como se trata da tangente, isso nos retorna dois resultados:

α = - 79,4 °     o u     α = 101 °

Qual deles iremos escolher? Ora, o ângulo de 101° se encontra ali no segundo quadrante, logo após o de 90°, enquanto o de -79,4° se encontra lá no quarto, exatamente onde precisamos. Portanto, o vetor velocidade forma um ângulo de -79,4° com a horizontal.

Resposta

(a) v → t = 3 î - 8 t j ^  

(b) v → 2 = 3 î - 16 j ^   m / s

(c) v → 2 = 16,3   m / s na direção com um ângulo de -79,4° com a horizontal.