É possível usar a lei do gás ideal para mostrar que a densidade da atmosfera da Terra diminui exponencialmente com a altura, ou seja, , onde z é a altura acima do nível do mar, é a densidade ao nível do mar (você pode usar o valor da Tabela 15.1) e z0 é chamada de escala de altura da atmosfera. (Ver Problema Desafiador 76.)
a. Determine o valor de z0.
b. Qual é a densidade do ar em Denver, EUA, a uma altitude de 1.600 m? A que porcentagem da densidade ao nível do mar isso corresponde?
Dica: Este problema requer uma integração. Qual é o peso da coluna de ar?
Passo 1
Fala pessoal, blz??
Nessa questão podemos desenhar, de forma extrapolada, a Terra e a coluna de ar acima do nível do mar. Nessa coluna, podemos entender também que a altura (em z) pode ser vista como várias divisões infinitesimais ‘‘dz’’, isso irá facilitar nosso entendimento na hora de resolver algumas integrais. Assim, o esquema pode ser escrito como:
Vale ressaltar que a área dessa coluna desenhada é arbitrária. Como queremos achar o z0 e a densidade do ar, podemos considerar para efeitos de cálculo que a área da coluna de ar onde estamos calculando o que foi pedido vale 1 m2.
Passo 2
Letra a)
No nível do mar, a pressão atmosférica vale 1,013.105 Pa. Assim:
Além disso, o volume pode ser escrito como:
Passo 3
Dessa forma, podemos escrever a expressão do Peso (w) como:
Como e , temos:
Integrando essa expressão para encontrarmos o Peso da coluna de ar:
Passo 4
Como temos a força no nível do mar, essa força será justamente o peso da coluna de ar, ou seja:
Passo 5
Para a letra b),
Usando a densidade da tabela 15.1, temos:
Calculando agora a porcentagem em relação a densidade no nível do mar, temos:
Resposta
a)
b)