É possível usar a lei do gás ideal para mostrar que a densidade da atmosfera da Terra diminui exponencialmente com a altura, ou seja, ρ =   ρ o . e - z / z o , onde z é a altura acima do nível do mar,   ρ o é a densidade ao nível do mar (você pode usar o valor da Tabela 15.1) e z0 é chamada de escala de altura da atmosfera. (Ver Problema Desafiador 76.)

a. Determine o valor de z0.

b. Qual é a densidade do ar em Denver, EUA, a uma altitude de 1.600 m? A que porcentagem da densidade ao nível do mar isso corresponde?

Dica: Este problema requer uma integração. Qual é o peso da coluna de ar?

Passo 1

Fala pessoal, blz??

Nessa questão podemos desenhar, de forma extrapolada, a Terra e a coluna de ar acima do nível do mar. Nessa coluna, podemos entender também que a altura (em z) pode ser vista como várias divisões infinitesimais ‘‘dz’’, isso irá facilitar nosso entendimento na hora de resolver algumas integrais. Assim, o esquema pode ser escrito como:

Vale ressaltar que a área dessa coluna desenhada é arbitrária. Como queremos achar o z0 e a densidade do ar, podemos considerar para efeitos de cálculo que a área da coluna de ar onde estamos calculando o que foi pedido vale 1 m2.

Passo 2

Letra a)

No nível do mar, a pressão atmosférica vale 1,013.105 Pa. Assim:

P = F A → F = P . A → A = 1 m 2 → F = 1,013.10 5 N

Além disso, o volume pode ser escrito como:

d V = d A . z → d V = A d z

Passo 3

Dessa forma, podemos escrever a expressão do Peso (w) como:

d w = d m . g → d w = g .   d ρ a r V → d w = g . ρ a r . d V  

Como ρ =   ρ o . e - z / z o e d V = A d z , temos:

d w = g . ρ o . e - z / z o . A . d z

Integrando essa expressão para encontrarmos o Peso da coluna de ar:

∫ d w =   ∫ 0 ∞ g . ρ o . e - z / z o . A . d z = - ρ o g A z o ( e - z z o ) | 0 ∞ = - ρ o g A z o . e - ∞ -   - ρ o g A z o . e 0 →  

w = 0 +   ρ o g A z o . e 0 → w = ρ o g A z o      

Passo 4

Como temos a força no nível do mar, essa força será justamente o peso da coluna de ar, ou seja:

F = 1,013.10 5 N = w =   ρ o g A z o → z o = 1,013.10 5 ρ o g A →     z o = 1,013.10 5 N 1,28 k g m 3 .   9,8 m s 2 .   1   m 2

z o = 8,08.10 3 m = 8080   m

Passo 5

Para a letra b),

Usando a densidade da tabela 15.1, temos:

ρ =   ρ o . e - z / z o = 1,28 k g m 3 .   e - z 8080 = 1,28 k g m 3 .   e - 1600 8080 = 1,05 k g / m 3

Calculando agora a porcentagem em relação a densidade no nível do mar, temos:

%   =   ρ ρ o . 100 % → % = 1,05 1,28 . 100 % = 82,03 %  

Resposta

a)

z o = 8,08.10 3 m = 8080   m

b)

% = 82,03 %

Ver Outros Exercícios desse livro