Um problema comum dos compêndios pede que você calcule a resistência de um objeto em forma de cone, com resistividade ρ , comprimento L , raio a em uma das extremidades e raio b na outra (Figura 7.50). As duas extremidades são planas e consideradas equipotenciais. O método sugerido é fatiar em discos circulares de espessura d z , encontrar a resistência de cada disco e integrar para chegar ao total.

a) Calcule R dessa maneira.

b) Explique por que este método é fundamentalmente falho. [Veja J.D. Romano e R.H. Price, Am. J. Phys. 64, 1150 (1996).]

c) Suponha agora que as extremidades são superfícies esféricas, centradas no ápice do cone. Calcule a resistência nesse caso (Considere L a distância entre os centros dos perímetros circulares das tampas das extremidades.)

[Resposta.: ρ 2 π a b b - a 2 L 2 + b - a 2 - L

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A resistência está relacionada ao comprimento do cone e sua área e é dada por

d R = ρ L A = ρ d z π r 2

Onde r é o cone e o raio é dado por b - a L z + a . Agora, nós conectamos esta expressão de r e integramos sobre z

R = ρ π ∫ 0 L 1 b - a L z + a 2   d z

Com isso, nós temos que

R = ρ π L b - a - 1 b - a L z + a

Desenvolvendo esta expressão,

R = ρ L π b - a - 1 b - a + a + 1 a = ρ L π b - a b - a a b

Portanto, nós obtemos o seguinte resultado

R = ρ L π a b

B - A corrente neste problema não é paralela ao eixo em contraste com exercício 7.1.

Passo 2

C - Temos o ângulo na forma

sen ⁡ θ = b - a L 2 + b - a 2   e cos ⁡ θ = L L 2 + b - a 2

Então, obtemos a resistência neste caso por

R = ρ d r A = ρ 2 π 1 - cos ⁡ θ ∫ r a r b 1 r 2 d r

Com isso, nós temos o seguinte resultado

R = ρ 2 π 1 - cos ⁡ θ r b - r a r a r b

Desenvolvendo um pouco mais

R = ρ ( b - a ) 2 π a b sen ⁡ θ 1 - cos ⁡ θ = ρ b - a 2 2 π a b 1 L 2 + b - a 2 - L

Resposta

a )   R = ρ L π a b

b )   A   c o r r e n t e   n ã o   é   p a r a l e l a   a o   e i x o .

c )   R = ρ b - a 2 2 π a b 1 L 2 + b - a 2 - L