Um próton tem inicialmente v = 4,0i – 2,0j + 3,0k e, 4,0 s depois, tem v = -2,0i – 2,0j + 5,0k (a unidade omitida é o m/s). (a) Qual a aceleração média a em 4,0 s? (b) Quais são o módulo e a direção de a?

Passo 1

Fala aí! Essa aqui pode parecer meio complicada, mas é mais simples do que parece. Se liga, a aceleração média é simplesmente a variação da velocidade dividida pelo tempo.

a → m é d = Δ V → Δ t = V → f - V → i Δ t

E como vamos aplicar isso aqui? Basta fazermos a diferença entre cada uma das componentes das velocidades final e inicial.

a → m é d = - 2 î - 2 j ^ + 5 k ^ - 4 î - 2 j ^ + 3 k ^ 4

a → m é d = - 2 î - 4 î + - 2 j ^ + 2 j ^ + 5 k ^ - 3 k ^ 4

a → m é d = - 6 i ^ + 2 k ^ 4 = - 1,5 i ^ + 0,5 j ^   m / s 2  

Passo 2

Para achar o módulo desse cara, é só o tratarmos como qualquer vetor. Vamos fazer a raiz quadrada da soma de suas componentes ao quadrado:

a → m é d = - 1,5 2 + 0,5 2 = 1,6   m / s 2

Passo 3

Pra finalizar, vamos encontrar um meio de expressar a direção desse vetor. A seguinte expressão nos fornece o ângulo que ele forma com o semieixo horizontal:

θ = a r c t g a y a x

Parece complicado, né? Mas não é, isso é simplesmente a tangente do ângulo θ em um triângulo retângulo cujos catetos são as componentes em y e em x do vetor aceleração, e já usamos direto a função a r c t g para encontrar o arco que tem a tangente encontrada. Bora resolver isso aí.

θ = a r c t g 0,5 - 1,5

Como se trata de uma tangente, obtemos duas respostas:

θ = - 18 °     o u     θ = 162 °

Como sabemos qual é a correta? Ora, pensa aqui comigo, nosso vetor aceleração tem uma componente negativa em x e uma positiva em y, ou seja, ele aponta para cima e para a esquerda, concorda? Agora, o ângulo -18° encontra-se no quarto quadrante, enquanto o de 162° encontra-se no segundo, justamente para onde nosso vetor aponta!

Resposta

(a) a → m é d = - 1,5 i ^ + 0,5 j ^   m / s 2

(b) a → m é d = 1,6   m / s 2 na direção que forma um ângulo de 162° com o semieixo horizontal.