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Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 10

Prove que duas quaisquer autofunções ligadas não degeneradas diferentes, \psi_i(x) e \psi_f(x) que sejam soluções da equação de Schroedinger independente do tempo para o mesmo potencial V(x ) obedecem à relação de ortogonalidade (Sugestão: (i) Escreva as equações para as quais^ e ^ são soluções e tome o complexo conjugado da segunda para obter a equação satisfeita por (ii) Multiplique a equação em \psi_i e \psi_j^*, e a equação em \psi_j^* por \psi_i e subtraia da outra. (iii) integre usando uma relação do tipo. A demonstração pode ser estendida para autofunções degeneradas e também para autofunções não ligadas que sejam devidamente normalizadas. Você vê como fazê-lo?

Passo 1

Saalve, tranquilo?

Vamos resolver juntos mais uma questão de física quântica?!

Passo 2

As equações de Schrodinger são:

- h 2 2 m d 2 d x 2 ψ i = E i ψ i

- h 2 2 m d 2 d x 2 ψ f = E f ψ f

- h 2 2 m d 2 d x 2 ψ f * = E i ψ f *

Manipulando um pouco, temos:

- h 2 2 m ψ f * d 2 d x 2 ψ i = ψ f * E i ψ i

- h 2 2 m ψ i d 2 d x 2 ψ f * = ψ i E f ψ f *

Subtraindo e integrando:

- h 2 2 m ∫ - ∞ ∞ d x ψ f * d 2 d x 2 ψ i - ψ i d 2 d x 2 ψ f * = E i - E f ∫ - ∞ ∞ d x   ψ f * ψ i

Já que temos autofunções degeneradas:

∫ - ∞ ∞ d x   ψ f * ψ i = - h 2 2 m E i - E f ∫ - ∞ ∞ d x ψ f * d 2 d x 2 ψ i - ψ i d 2 d x 2 ψ f *

= - h 2 2 m E i - E f ψ f * d d x ψ i - ψ i d d x ψ f * - ∞ ∞

→ ∫ - ∞ ∞ d x   ψ f * ψ i = 0

Se as funções são degeneradas, então elas precisam ser ortogonais usando Gram-Schmidt. Se as funções não são ligadas, elas precisam ser normalizadas.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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