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Enunciado

Física - Alonso e Finn - Mecânica- Ed: 2º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 51

Prove que, para oscilações forçadas de um oscilador amortecido, a potência média da força aplicada é igual à potência média dissipada pela força amortecedora.

Passo 1

Faaala, galera!!!

Aqui, nós temos que a energia mecânica de um sistema é dada por:

E = T ( t ) + U ( t ) = 1 / 2 * m x ' ² ( t ) + 1 / 2 * k x ² ( t )

Além, sua taxa de variação é:

d E / d t = x ' ( m x ' ' + k x )

= x ' ( - m γ x ' + F ( t ) )

= - m γ x ' ' ² + P ( t )

em que P é a potência fornecida pela força externa e o primeiro termo é a potência dissipada.

Passo 2

No regime estacionário, teremos:

x = A ( ω )   c o s [ ω t + φ ( ω ) ]

Logo,

P ( t ) = - ω F 0 A c o s [ ω t ] s e n [ ω t + φ ]

Agora, relembrando:

x ' ' = - ω ² x ;   k = m ω 0 ² , além disso,

d E / d t = x ' ( m x ' ' + k x )

= m ( ω 0 ² - ω ² ) x x '

= m ( ω 0 ² - ω ² ) A ² x * c o s [ ω t + φ ] * s e n [ ω t + φ ]

Passo 3

Logo, teremos:

d E / d t = 0   e   P _ = m γ x ' ² _

Encontrando, então, a potência fornecida, nós teremos:

P = m γ x ' ² _ = m γ 1 / 2 * ω ² A ²

⇒ P = [ γ F 0 ² ω ² ] / [ 2 m * ( ( ω 0 ² - ω ² ) ² + γ ² ω ² ]

Assim, provamos que a potência média fornecida pela força externa é igual à potência média dissipada!

P ( ω 0 ) _ = P m á x _ = Q * ( F 0 ² / 2 m ω n )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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