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Enunciado

Física - Alonso e Finn - Mecânica- Ed: 2º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 30

Prove que a transformação para a energia e quantidade de movimento pode ser escrita na forma vetorial:

p ' → = p → - p → ⋅ v → v 2   v → + γ   p → ⋅ v → v 2   v → - E c 2   v →

E ' = γ E - v → ⋅ P →

Passo 1

E aí, beleza?? Para resolver essa questão, considere os vetores paralelos e perpendiculares à velocidade:

p → / / = p → ∙ v → v 2   v →

Essa componente se comporta como:

p ' → / / = γ p → / / - v → E c 2 = γ p → ∙ v → v → v 2 - γ v → E c 2

Passo 2

Agora, vamos ver a componente perpendicular. Ela não se transforma, portanto:

p ' → ⊥ = p ⊥ → = p → - p → / / = r → - p → ∙ v → v 2   v →

Ou seja:

p ' → = p → ⊥ + p → / /

Assim:

p ' → = p → + γ - 1 p → ∙ v → v → v 2 - γ v → E c 2

Ou, ainda:

p ' → = p → - p → ⋅ v → v 2   v → + γ   p → ⋅ v → v 2   v → - E c 2   v →

Como queríamos demonstrar.

Passo 3

Para o tempo, vem:

E ' = γ E - v → ⋅ P → / /

Contudo, note que

p ⊥ → ∙ v → = 0

Assim, vem:

v → ∙ p → / / = v → ∙ p →

Desse modo, ficamos com:

E ' = γ E -   v → ⋅ p →

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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