Enunciado

Prove os três teoremas a seguir:

c) Se V ( x ) é uma função par (isto é, V - x = V ( x ) ), então ψ ( x ) sempre pode ser considerada par ou ímpar.

Dica: Se ψ ( x ) satisfaz a equação 2.5 para dada E , então ψ - x também satisfaz, e, portanto, também as combinações lineares pares e ímpares ψ x ± ψ ( - x ) .

Passo 1

Assim, como nos dois itens anteriores, vamos usar essa dica ao nosso favor hehe...

Vamos verificar primeiramente se ψ - x satisfaz a equação de Schrödinger e, então, prosseguir com o restante da demonstração.

Passo 2

Se fizermos a substituição x →   - x   , note que a derivada não se altera:

d 2 d - x 2   = d 2 d x 2

Assim, a equação de Schrödinger para ψ - x fica:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ - x d x 2   + V - x ψ - x = E ψ - x

Como V x = V - x , já que o enunciado afirma que o potencial é uma função par, temos:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ - x d x 2   + V x ψ - x = E ψ - x

Ou seja, podemos concluir que ψ - x é solução da equação diferencial!

Passo 3

Então, podemos definir uma nova solução ψ + x como uma combinação linear de ψ ( x ) com ψ - x , devido ao princípio da superposição! Olha só como fica:

ψ + x = ψ x + ψ ( - x )

Construindo ψ +   x dessa maneira, ela se torna uma função par! Saca só:

ψ + - x = ψ - x + ψ ( - ( - x ⏝ ) x ) = ψ - x + ψ ( x )

Então...

ψ + - x = ψ + ( x )

De maneira análoga, podemos definir ψ - x = ψ x - ψ - x . Assim, ψ - x é uma solução da equação de Schrödinger e, ao mesmo tempo, é uma função ímpar!

Com essas duas funções, ψ + e ψ - ( x ) , conseguimos mostrar que a solução da equação de Schrödinger pode sempre ser considerada uma função par ou uma função ímpar! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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