Enunciado

A resistividade elétrica de um cristal é representada por um elipsoide de revolução em torno do eixo O z . A Figura 20.16 mostra um corte nesse elipsoide no plano x z . Os eixos O x e O z são eixos principais do tensor da condutividade, ou seja, se o campo elétrico está orientado em uma daquelas direções a densidade de corrente é alinhada com o campo. Calcule j → para o campo elétrico mostrado na figura.

Passo 1

No caso mais geral possível, as componentes do vetor densidade de corrente j → se relacionam com as componentes do campo elétrico E → por

j x j y j z = σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 E x E y E z

Se os eixos O x , O y e O z forem os eixos principais do tensor da condutividade, a matriz é diagonal:

j x j y j z = σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 3 E x E y E z

Passo 2

Como estamos restritos ao plano x z , podemos escrever

E → = E cos ⁡ θ   i ^ + E   s e n   θ   k ^

Assim,

j x j y j z = σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 3 E cos ⁡ θ 0 E   s e n   θ

Portanto,

j x j y j z = σ 1 E cos ⁡ θ 0 σ 3 E   s e n   θ

Logo,

j → = σ 1 E cos ⁡ θ   i ^ + σ 3 E   s e n   θ   k ^

Resposta

j → = σ 1 E cos ⁡ θ   i ^ + σ 3 E   s e n   θ   k ^

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