b) Resolva o mesmo problema fazendo a substituição , e escolhendo a constante de forma a permitir a redução da equação em à equação homogênea . Mostre, em seguida, que o efeito da aplicação de uma força constante é meramente deslocar a posição de equilíbrio sem afetar a natureza das oscilações.
Passo 1
Vamos continuar esta questão, o processo é o mesmo, mas agora vamos fazer a seguinte mudança , note que como é uma constante, temos que e , portanto usando a segunda lei de Newton, temos:
Se escolhermos . Agora esta é uma equação diferencial homogênea para , nós resolvemos esta expressão na última alternativa. Vamos trabalhar a partir da solução!
Passo 2
Nossa solução era tal que:
Esta expressão pode ser escrita da seguinte forma:
Identificando que Se mudarmos a variável de volta, temos:
A solução é a mesma que obtivemos anteriormente! Isso só pode ser feito porque a nossa força é constante, beleza? Vamos analisar agora a condição de equilíbrio!
Passo 3
Nós temos o equilíbrio quando a resultante das forças é nula, nesta condição temos que:
Se mudarmos o sistema de coordenadas de forma que , temos que:
A velocidade no equilíbrio não muda pois temos que a mudança é constante. Ou seja, temos um equilíbrio diferente, mas como e a dinâmica do sistema continua sendo a mesma. A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!
Resposta
Ao longo dos passos.