b) Resolva o mesmo problema fazendo a substituição x '   =   x - a , e escolhendo a constante a de forma a permitir a redução da equação em x ' à equação homogênea ( 2.90 ) . Mostre, em seguida, que o efeito da aplicação de uma força constante é meramente deslocar a posição de equilíbrio sem afetar a natureza das oscilações.

Passo 1

Vamos continuar esta questão, o processo é o mesmo, mas agora vamos fazer a seguinte mudança x ' ( t )   =   x ( t ) - a , note que como a é uma constante, temos que x ˙ ' ( t ) = x ˙ ( t ) e x ¨ ' ( t ) = x ¨ ( t ) , portanto usando a segunda lei de Newton, temos:

m x ¨ ( t ) = - k x ( t ) - b x ˙ ( t ) + F 0 → x ¨ ' ( t ) + b m x ˙ ' ( t ) + k m x ' ( t ) + k m a = F 0 m →

→ x ¨ ' ( t ) + b m x ˙ ' ( t ) + ω 0 2 x ' ( t ) = 0

Se escolhermos a   =   F 0 / k . Agora esta é uma equação diferencial homogênea para x ' ( t ) , nós resolvemos esta expressão na última alternativa. Vamos trabalhar a partir da solução!

Passo 2

Nossa solução era tal que:

x ' ( t )   =   C 1 e - γ + i ω 1 + C 2 e - γ - i ω 1

Esta expressão pode ser escrita da seguinte forma:

x ' ( t ) = e - γ t A c o s ( ω 1 t + θ )

Identificando que   C 1 = A c o s ( θ )   e   C 2 = - A s i n ( θ ) .   Se mudarmos a variável de volta, temos:

x ( t ) - F 0 / k = e - γ t A c o s ( ω 1 + θ ) → x ( t ) = A e - γ t c o s ( ω 1 + θ ) + F 0 / k

A solução é a mesma que obtivemos anteriormente! Isso só pode ser feito porque a nossa força é constante, beleza? Vamos analisar agora a condição de equilíbrio!

Passo 3

Nós temos o equilíbrio quando a resultante das forças é nula, nesta condição temos que:

| F → r |   = - k x e q - b v e q = 0  

Se mudarmos o sistema de coordenadas de forma que x ' e q = x e q - F 0 / k , temos que:

k x ' e q + F 0 + b v e q = 0

A velocidade no equilíbrio não muda pois temos que a mudança é constante. Ou seja, temos um equilíbrio diferente, mas como x ¨ ( t ) e x ˙ ( t ) a dinâmica do sistema continua sendo a mesma. A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos.